Permutaciones y combinaciones

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PERMUTACIONES Y COMBINACIONES (TECNICAS DE CONTEO)
OBJETIVO.- Utilizar las técnicas de conteo para determinar el número de elementos de un espacio muestra o suceso.
Considera que alguien desea viajar en autobús, tren o avión, para un periodo de vacaciones de una semana a uno de los cinco lugares de veraneo mas concurridos del país.
¿De cuantas maneras diferentes se podría lograr esto?Autobús Acapulco
Can Cun
Tren Isla Mujeres
Puerto Vallarta
Avión Mazatlán
¿Puedes escribir todos los posibles arreglos?
Como se a visto en la sección anterior, el cálculo de probabilidades se reduce a contar el número de posibles resultados del espacio muestra y de los sucesos. En muchos casos a resolver esposible encontrar los posibles resultados sin hacer la lista de los elementos o sin describir los conjuntos S y E.
ORDENAMIENTOS CON REPETICIÓN
Al determinar el número de posibles formas
en que puede ocurrir un suceso estamos determinando los posibles ordenamientos de los elementos, en el caso de un suceso que se puede dividir en k sucesos simples y si los elementos se pueden repetir, es decir losresultados son independientes, entonces las forma en que puede ocurrir el evento compuesto son:
Suceso 1 2 3 4 … k
Posibilidades n n n n … n
Usando el principio multiplicativo, la cantidad total de formas es:
n x n x n x n…x n= nk
Por ejemplo, si un dado se lanza cuatro veces consecutivas, el número de formas en que puede ocurrir el espacio muestra es 64 = 1296
ORDENAMIENTOS SINREPETICIÓN (PERMUTACIONES)
Si ahora consideramos los diferentes resultados de un experimento o suceso en el cual los elementos no se pueden repetir, tendremos un ordenamiento sin repetición, si el primer elemento puede ocurrir de n formas, el siguiente podrá ocurrir de n-1 formas, el tercero de n-2 y así sucesivamente hasta que el último solo puede ocurrir de 1 forma, suponiendo que consideradosigual numero de sucesos que elementos posibles, entonces el número total de formas es:
Posición 1 2 3 4 … k … n-1 n
Posibilidades n-1 n-2 n-3 n-(k-1) 2 1
Usando el principio multiplicativo:
Total de formas n(n-1) (n-2) (n-3)… {n-(k-1)}… (2)1 = non
A la operación anterior se le llama el factorial de n y se representa por n!, entonces:
nPn =n!
La expresión anterior se lee: Permutaciones den elementos tomados todos a la ves.
Ejemplo: Determinar de cuantas maneras diferentes se pueden sentar 5 personas si hay 5 lugares.
Como una persona solo puede ocupar un solo lugar, el problema se refiere a ordenamientos sin repetición: 5P5 =5! = (5) (4) (3) (2) (1) =120 formas
Supongamos que en el ejemplo anterior solo hay tres lugares, entonces el número de formas diferentes es: Lugar 1 23
Posibilidades 5 4 3
La cantidad total es (5) (4)(3)=60 formas.
Si consideramos que tenemos n elementos los cuales se ordenan en k posiciones:
Posición 1 2 3 4… k
Posibilidades n n-1 n-2 n-3 n-(k-1)
El número total de formas es n(n-1)(n-2)(n-3)…{n-(k-1)}=nPk a esta operación se puede realizar con la siguiente formula:
Por definición 0!=1
Lo cual se lee: permutaciones de nelementos tomados de k a la ves
Para nuestro ejercicio
Ejemplo: Una persona tiene 6 libros diferentes de física y 4 libros de matemáticas, determine de cuantas maneras diferentes:
a) Puede acomodar solo los libros de Física
b) Si acomoda todo los libros a la vez
c) Si los libros de Física y Matemáticas deben estar juntos
Solución.
a) Si solo se consideran los libros de Física, son laspermutaciones 6P6 = 6!= 720
b) Las formas diferentes tomando todos los libros a vez 10=10! = 3628800
c) Al considerar los libros en bloque, se obtienen las permutaciones de cada uno y luego se usa el principio multiplicativo, además como se pueden permutar los grupos entre si, se debe multiplicar por 2!: Libros de Física 6P6 = 6!= 720
Libros de Matemáticas 4P4 = 4!=24
Permutaciones Totales =...
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