Permutaciones y Combinaciones

INTRODUCCIÓN
UNA COMIDA GRATIS

Diez jóvenes decidieron celebrar la terminación de sus estudios en la escuela secundaria con un almuerzo en un restaurante. Una vez reunidos, se entabló entre ellos una discusión sobre el orden en que habían de sentarse a la mesa. Unos propusieron que la colocación fuera por orden alfabético; otros, con arreglo a la edad; otros, por los resultados de losexámenes; otros, por la estatura, etc. La discusión se prolongaba, la sopa se enfrió y nadie se sentaba a la mesa. Los reconcilió el camarero, dirigiéndoles las siguientes palabras:
- Jóvenes amigos, dejen de discutir. Siéntense a la mesa en cualquier orden y escúchenme
Todos se sentaron sin seguir un orden determinado. El camarero continuó:
- Que uno cualquiera anote el orden en que están sentadosahora. Mañana vienen a comer y se sientan en otro orden. Pasado mañana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto, y así sucesivamente hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue el día en que ustedes tengan que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnemente, que en lo sucesivo les convidaré a comer gratis diariamente, sirviéndoles losplatos más exquisitos y escogidos.
La proposición agradó a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada día en aquel restaurante y probar todos los modos distintos, posibles, de colocación alrededor de la mesa, con el objeto de disfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas.
Sin embargo, no lograron llegar hasta ese día. Y no porque el camarero no cumpliera su palabra sino porque el númerototal de combinaciones diferentes alrededor de la mesa es extraordinariamente grande. Éstas son exactamente 3’628,800. Es fácil calcular, que este número de días son casi 10,000 años.

4.1. PRINCIPIOS BÁSICOS DE CONTEO

A menudo nos encontramos con preguntas del tipo ¿Qué proporción de...? ¿Cuál es la probabilidad de...? ¿De cuántas maneras se puede...?
Muchas veces, para responder, se necesitaun pensamiento sistemático y un poco de información adicional; por ejemplo, ¿Cuántas rutas diferentes puedo usar para ir de Mérida a México? o ¿De cuántas maneras pueden quedar los 3 primeros puestos en una carrera de 6 caballos?
Hay técnicas y principios matemáticos útiles en situaciones variadas, pero muchas preguntas se pueden responder directamente, contando en forma sistemática, es decir,listando todos los posibles resultados en un orden sistemático, para luego contar cuántos son, o desarrollando reglas de conteo. Algunas soluciones parecen ingeniosas cuando se ven por primera vez (y muchas veces lo son) pero, como decía Juerguee Polya, cuando podemos aplicar nuevamente estos métodos ingeniosos en problemas similares y en situaciones relacionadas entre sí, hemos desarrollado unatécnica.
Enunciaremos algunos principios que nos ayudarán a resolver muchísimos problemas de conteo, daremos ejemplos de cómo usar estos principios y finalmente veremos algunos métodos menos rutinarios y más ingeniosos.

4.1.1 Principio de Adición.

Ejemplo 1: Cinco empresas de transporte terrestre tienen servicio diario entre Mérida y México. Tres empresas de aviación tienen vuelo diario entreMérida y México. En consecuencia, hay 5+3 maneras de ir de Mérida a México en avión o en autobús.
En los problemas de conteo, la palabra "o" se traduce en suma.

El principio general es: “Si dos operaciones son mutuamente excluyentes (es decir, si solo una de ellas puede ocurrir) y si la primera se puede hacer de n maneras diferentes y la segunda operación se puede hacer de m manerasdiferentes, entonces hay n + m maneras de realizar la primera o la segunda operación.”

Ejemplo 2: Si tengo una moneda de $50, una de $100, una de $200 y una moneda de $1000, ¿Cuál es el número total de precios que puedo pagar usando alguna o todas mis monedas?
Este es un buen ejemplo de una situación en la que se necesita un listado sistemático. Como tenemos 4 monedas, debemos considerar 4 casos....