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Escuela Superior Tecnológico

Instituto Tecnológico de Lerma

Fanny Elizabeth Barroso Flores

Ing. Ramón Espejo Reyes, MC.

“ECUACIONES DIFERENCIALES”

Ingeniería Mecatrónica

4 SEMESTRE “A”

San Francisco de Campeche, Campeche; 8 de Enero del 2010

Unidad 1

UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL, es una ecuación que contiene derivadas. Por ejemplo,
1) dy = x + 5dx
2) d2y + 3 dy + 2y =0
dx2 dx
3) xy’ y = 3
4) y’’’ + 2(y’’)2 + y’ = cos x
5) (y’’)2 + (y’)3 + 3y = x2
6) dz = z + dz
dx dy
7) d2z + d2z = x2 + y
dx2 dy2

Si hay una sola variable independiente, como en 1)-5), las derivadas son derivadas ordinarias y la ecuación se denomina ecuación diferencialordinaria.
Si hay dos o más variables independientes como en el 6) y 7), las derivadas son derivas parciales y la ecuación se llama ecuación entre derivadas parciales.
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que interviene en ella. Las ecuaciones 1), 3) y 6) son de primer orden; 2), 5) y 7) son de segundo orden y la 4) es de tercer orden.
Elgrado de una ecuación diferencial que puede escribirse como un polinomio respecto a las derivadas, es el grado de la derivada de mayor orden que interviene en ella. Todas las ecuaciones de los ejemplos anteriores son de primer grado excepto la 5), que es de segundo grado.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si se puede escribir de la forma
[pic]
||

(1.5) donde los coeficientes ak (x) para k = 0, 1,…, n son funciones reales, con an (x) ≠ 0. Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal.

Algunas veces decimos que la ecuación 1.5 es lineal con coeficientes constantes si lasfunciones ak (x) son constantes para toda k, en caso contrario, decimos que es con coeficientes variables. Por otro lado, si la función g(x) es nula decimos que la ecuación diferencial ordinaria lineal es homogénea y en caso contrario no homogénea. Todos estos tipo se ecuaciones diferenciales serán estudiados posteriormente con más detalle.

ENSAYO

Para poder hablar sobre las ecuacionesdiferenciales, es necesario conocer los principios básicos, es decir, retomar ciertas definiciones, maneras de solución, clasificaciones, teoremas, tipos y aplicaciones de las mismas. De este modo llegaremos a comprender la mecánica y poder ascender a las siguientes unidades, refiriéndome a que ésta vez, exclusivamente nos concentraremos en las expresiones diferenciales ordinarias.

Con estose quiere dejar en claro que, una ecuación diferencial, es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales. En ella se concentran: las ecuaciones diferenciales de primer orden, de segundo y así sucesivamente, según sea el orden de la derivada. El orden de una ecuación diferencial, es el mismo que el de la derivada de mayor orden que en ella aparece. Por otro lado, el grado de una ecuaciónlineal, puede escribirse como la derivada de mayor orden que interviene en ella. El problema de darle solución a estas ecuaciones diferenciales, consiste en encontrar la primitiva que dio origen a la ecuación. Por ello se han establecido las condiciones que se han de cumplir, para que se les dé solución, los llamados teoremas de existencia.
Una solución o integral de una ecuación diferenciales una relación entre las variables, que define a una de ellas como función de la otra, que satisface la ecuación. Un ejemplo muy claro es: y = a sen x, la cual es una solución de la ecuación diferencial d2y + y = 0. dx2
Que en efecto, derivando: d2y = - a sen x. Que...
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