Piñon

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Límites de una función

Y f(x)
L+e Lim f(x)
L x a
L-e =delta
AX


V є>0, ∃>0/
fx-L0, ∃>0/
/3x+5=11 / < є s.q.0< / X-2/ < S
De
/3x +5 - 11 / < є => /3x 6/ < є
=> /3(x-2)/ < є
=> /3//x-2/ < є
=>3/x-2/< є
=> /x-2/< є3=S
Si є = 0.05
= є3
= 0.053
limx-48x+3= 35
8 limx-4xlimx-43
= (8) (4) + 3V є>0, ∃>0/
= 32 + 3 /8x+3=35 / < є s.q.0< / x-4/ < S
= 35 de
/8x +3 - 35 / < є => /8x- 32/ < є
=>8/x -4/ < є
=>/8//x -4/ < є
=>8/x - 4/ < є
=>/x - 4/ < є 8=S
= є 8=S
Si S = 0.02 = є =8S є= (8) (0.02) = 0.16

limx-27x-4=-18
V є>0, ∃>0/
/7x-4-(-18) / < є s.q.0< / X-(-2)/ < S
De
/7x -4+18 11 / < є => /7x+14/ < є
=> /7(x+2)/ < є
=> /7/(x+2)/ < є
=> /x+2/ 0, ∃>0/
/fx,y-L / < є s.q.0 (X-Xo)2+(Y-Yo)2 < S
Para un punto cualquiera (x, y) en el disco de radio S, el valor F (x,y) esta en L + e y L – e
Ejemplo:
limx,y-(1,3)2x+3y=11
Є = 0.03 S = ?
V є>0, ∃>0//2x+3y-11 / < є s.q.0< (X-1)2+(Y-3)2 < S
De
/2x+3y-11 / < є => /2x+3y-11 / < є

=> /2x-2+3y-9 / < є
Desigualdad triangular
/2x-2/ + /3y-9/ < є
/2//x-2/+/3//y-3/< є
/x-1 / = (x-1)2 ≤ (x-1)2+(y-3)2
/y-3 / = (y-3)2 ≤ (x-1)2+(y-3)2
Si 0 < (x-1)2+(y-3)2 < S
2 /x-1/ + 3 /y-3/
≤ 2S + 3S
5S = є
s = 0.035
limx,y →(1,2)(3x2+5y2)
=limx,y 3x2+ lim(x,y)5y2;sumalim3(limx)2+lim5(limy)2;producto y potencia
31+522
3+20= R/ 23
En el límite con una variable se debe comprobar la igualdad de los límites laterales pero, cuando tenemos más de una variable, para establecer la existencia del límite a realizar la evaluación a través.
a) Del eje x x,0
b) Del eje y 0,y
c) De una recta y = mx
Y = x
Ejemplo 1 con eje x

Laexistencia de

lim(x,y)0,0x2 y2x2+y2
Del eje x
lim(x,y)x,0x2 y2x2+y2
Luego
x2 (0)2x2+(0)2
0x2
002=R/ 0
Limite f(x,y) existe (x,y)(0,0)
Ejemplo con el eje y (0,0)
x2y2x2+y2 = (0)2 y202+y2= 0y2= 0(0)2= R/ 0
Y=x
x2y2x2+y2=(x2) (x2)x2+x2=x42x2= x22 0,0= 022=limfx,yexiste x,y→0,0
Como sus resultados son iguales entonces
lim(x,y)0,0x2 y2x2+y2 existe y es igual a cero
Ejemplo 2limx,y0,0 xyx2+y2
A través del eje x

xyx2+y2

x0x2+02=0x2=002= R/ 0

limx,yx,0x,yexiste

eje y0,y

xyx2+y2= 0yx2+y2=0y2=002=limx,y0,0x,yexiste

a traves de y=x

xyx2+y2= xxx2+x2=x22x2=12 ω limx,y0,0x,y no existe
ejemplo 3

limx,yπ4,2y sen xy

por teorema
=limx,yπ4,2y *limx,yπ4,2xy

2(senπ2 2
2senπ2
21
= R/ 2

ejemplo 4limx,y1,1x-143-y-143x-123+y-123

si x+y=x-y

multiplicar por la conjugada del denominador
x-143-y-143x-123+y-123*x-123-y-123x-123+y-123

=x-143-y-143*x-123y-123[x-123]2-[y-123]2

x-123-y-123

luego

limx,y1,1x-123-limx,y1,1x-123
=0-0
R/ 0

limx,y1,1x3-y3x-y

limx,y1,1x2+xy+y2

limx2+limx+limy+limy2
(1)2+11+(1)2= R/ 3
ejemplo 5
limx,y0,2senx,yx
teorema
limx→0senxx=1senx,yx
para lograr la forma del teorema:
senxyx*yy
=y senxyxy
luego
limx,y0,2 y senx,yxy
limx,y0,2
R/ 0
Definicion:Una funcion de dos variables x,y es continua en el punto x0,y0si y solo si
a)fx0,y0existe
b)limfx,yexiste
x,y→x0,y0
c)fx0,y0=limx,yx0,y0fx,y
fx,y3x2yx2+y2si fx,y≠0,00 si fx,y=0,0
a)f0,0=0 existe
b) limx,y0,03x2yx2+y2
eje x=x,0 (eje y:0,y
=3x20x2+02...
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