Pitagoras

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Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Teorema de PitágorasEn todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la sumade los cuadrados de los catetos.Pitágoras de Samos |
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:
(1)
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas |
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Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos

Figura Euclides 1: Laproposición I.412 de Euclides. La superficie del rectángulo ABCD es el doble de la de cualquiera de los triángulos: sus bases son la misma –DC-, y están entre las mismas paralelas. Esto es cuanto necesita Euclides para demostrar el teorema de Pitágoras.

Figura Euclides 2: La proposición I.363 de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estarcomprendidos entre las mismas paralelas.

Figura Euclides 3: La demostración de Euclides es puramente geométrica. Su columna vertebral es la sencilla proposición I.412 de Los Elementos.
El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y los Pitagóricos supuso un contratiempo muy serio.4 De pronto, las proporciones dejaron de tener validez universal, no siempre podían aplicarse. Lademostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un número racional. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante esto, Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.
El eje de su demostración es la proposición I.475 de Los Elementos:
En los triángulos rectángulos el cuadrado del ladoopuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. |
Basándose en la proposición I.412 de Los Elementos, que equivale a decir que a igual base y altura, el área del paralelogramo dobla a la del triángulo, (véase Figura Euclides 1).
Se tiene el triángulo ABC, rectángulo en C (véase Figura Euclides 3), y se construye los cuadradoscorrespondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se traza cuatro triángulos, iguales dos a dos:
* Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo AD=AC, y AK=AB, necesariamente BD=CK. Sus tres lados son iguales.
* Triángulos ABG y CBI: análogamente, AB=BI, y BG=BC, así que AG=CI. Sus tres lados son asimismo iguales.
Abundando en las anteriores consideraciones,nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ACK en ABD. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. En la demostración de Leonardo da Vinci se encontrará nuevamente con giros que demuestran la igualdad de figuras.
Véase (en la Figura Euclides 3) que:
1. Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHJK, los cuales tienen lamisma base, AK. Por tanto de acuerdo con la proposición I.412 de Los Elementos, AHJK tiene doble área que ACK, (véase Figura Euclides 1).
2. Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de la de ABD.
Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes. Haciéndose razonamientos similares conlos triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, se concluye que éstos últimos tienen asimismo áreas iguales. A partir de lo anterior, surge de inmediato que: "la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa".
Demostración de Pappus

La proposición I.363 de Euclides: los...