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TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
1. Distribución de la media muestral para variables normales.
Supongamos que tenemos una muestra x1, ..., xn de una variable aleatoria normal. Recordemos que la media se define como:

Esta media depende de la muestra. Normalmente tendremos sólo una muestra, pero podríamos tomar muchas diferentes, de manera que a cada una le correspondería una media diferente.Esto nos da pie a hablar de la distribución muestral de la media. Para indicar que se trata de una variable aleatoria, la denotaremos por X.

Para estudiarla, deberemos distinguir dos casos: cuando la desviación típica POBLACIONAL de la variable que medimos es conocida y cuando es desconocida.

1.1 Caso de desviación típica conocida.

Pensemos en el ejemplo de las alturas de losestudiantes de la UOC. Supongamos que en un estudio anterior se había demostrado que las alturas de los estudiantes de la UOC seguían una distribución normal de media 172 cm y desviación típica de 11 cm.

Intuitivamente vemos que la media de las observaciones de la muestra que tenemos debe de ser un valor cercano a 172. También parece razonable pensar que observaciones mayores que la mediapoblacional, 172, se compensarán con valores menores, y que cuanto mayor sea la muestra, más cercano será el valor de la media muestral a 172.

Ojos: La desviación poblacional es la desviación real de la variable, que en este caso suponemos conocida. Cuando calculamos la desviación a partir de muestras, hablamos de desviación muestral.

Pensemos ahora que tenemos una muestra de cien estudiantes de laUOC. Hacemos diez grupos de diez estudiantes y hacemos la media aritmética para cada grupo. Obtenemos diez valores, correspondientes a las diez medias x1,..., x10. Parece razonable pensar que la media de estos nuevos datos sería también 172. Por otra parte, también parece razonable pensar que estos nuevos valores sean más cercanos a 172 que los datos originales, ya que en cada una de las medias senos habrán compensado valores grandes con valores pequeños.

Si la variable que estudiamos sigue una distribución normal con media μ y desviación típica s conocidas, entonces la media muestral es también normal con la misma media μ y desviación típica σ/n, donde n es el tamaño de la muestra. Por tanto, tipificamos la variable y obtenemos que:

sigue una distribución normal estándar.
Ennuestro ejemplo la variable que recoge todas las posibles medias de cada grupo de diez estudiantes sigue una distribución normal de media 172 cm y desviación típica 11 / 10
= 3,48 cm. Observamos que, efectivamente, cuanto mayor es la muestra, menor resulta la desviación típica y, por tanto, hay menos dispersión.

Este cociente que nos da la desviación típica de la media aritmética se conoce comoerror estándar.

Si s es la desviación típica de la población y n el tamaño de la muestra, se define el error estándar de la media muestral como:

σ/n

Ejemplo de error estándar de una media muestral.

Consideremos las alturas de los estudiantes de la UOC. Supongamos que sabemos que se trata de una variable aleatoria normal de media 172 cm y desviación típica 11 cm y que hemos tomadouna muestra de trescientos estudiantes al azar. Entonces podemos contestar preguntas del tipo siguiente:

* ¿Cuál es la probabilidad de que la media sea menor que 170 cm?

La distribución de la media muestral es normal de media 172 cm y desviación típica:

11/300= 0,635

Tipificamos la variable para obtener una normal (0,1). Debemos calcular:

P(X < 170)= P(X-172/0,635<-2/0,635) = P(Z<-3,149) = 0,0008.
ya que Z es una variable aleatoria normal (0,1).
1.2 Caso de desviación típica poblacional desconocida. La t de Student
Fijémonos en que en los ejemplos estudiados anteriormente necesitábamos dos cosas:

* que la variable que se estudiaba fuese normal;
* que el valor de la desviación típica de la variable fuese conocido.

Estos dos hechos se...
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