Planisferio

1. Analice la convergencia de las siguientes series (3,0 puntos):


a) [pic] b) [pic]
Solución:
a) [pic] y como [pic] diverge, entonces [pic] también diverge.
b) Converge pues(comparación)[pic]

2. Comente las siguientes afirmaciones:


a) Si una secuencia no converge, entonces no está acotada. (1,5 puntos)
Solución:
Falso. Por ejemplo: [pic] no converge pero esacotada.
b) Sean [pic] funciones distintas. Sea [pic] una solución al problema:
[pic]
y [pic] una solución de :
[pic]
entonces podemos afirmar que [pic]. (1,5 puntos)Solución:
Falso. Sea [pic] y [pic], en ese caso [pic] y obviamente [pic].


c) Si una maximización restringida no tiene máximo, entonces la función no es continua o el conjunto factible no escompacto. (1,0 puntos)
Solución:
Verdadero. Pues si la funcion no tiene máximo, entonces podemos estar seguro que no cumple con las condiciones del el Teorema de Weierstrass, entonces o la funcion no escontinua o el conjunto factible no es compacto.


3. Mostrar que [pic] usando la serie de Maclurin. (1,5 puntos)
Solución:
Sea [pic] y [pic], entonces

[pic] y [pic] y evaluando en x=0:[pic] y [pic]
[pic], claramente [pic].
4. Una consultora quiere estudiar la demanda de Coca-Cola. La función de demanda depende del precio de la Coca-Cola ([pic]) y del precio de Kola Real ([pic]).Sin embargo, la función es un tanto complicada por lo que se requiere realizar una aproximación de Taylor de segundo orden para simplificar las cosas. La función es la siguiente:

[pic]

a.Escriba la aproximación de Taylor alrededor del punto [pic] (1,5 punto)
b. Calcule el error de aproximación para [pic] (No se necesita resolver numéricamente) (1,0 punto)
Solución:
a. Aplicandola aproximación de Taylor
[pic]

b. Error de aproximación
[pic]
5. Considere el siguiente problema:
[pic]
a. Resolver el problema gráficamente. (2,5 puntos)...