Planos en el espacio

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Planos en el espacio tridimensional.
Ecuación vectorial, normal y cartesiana


Así como una recta esta determinada por dos puntos distintos, un plano está determinado por tres puntos no colineales.


Una manera muy conveniente de obtener una ecuación del plano [pic]en [pic]que pasa por los puntos [pic][pic], es observar que los puntos [pic]tienen la propiedad
[pic]


Esta ecuación esuna ecuación normal de [pic]
 
[pic]
Figura 30.
[Ver en 3D] [Ver en 3D con Jview]
 


Si ponemos [pic]y desarrollamos la ecuación anterior, obtenemos una ecuación cartesiana de [pic]
[pic]


Finalmente, podemos observar que si [pic]está en [pic], entonces
[pic]


Esta es una ecuación vectorial de [pic].
 
[pic]
Figura 31.
 [Ver en 3D-LG3D]  [Ver en 3D con Jview]
 
[pic]Figura 32.
[Ver en 3D] [Ver en 3D con Jview]
 
 

|  | Definición 3 |
| | |
| |Consideremos un plano [pic]que pasa por los puntos no colineales [pic].|
| |[pic]es un vector normal al plano [pic]si [pic]para cualquier [pic]. |
| |Si [pic]es un vector normal al plano [pic]entonces |
| |[pic] |
| ||
| | |
| |se llama una ecuación normal de [pic] |
| |Si [pic]es un vector normal del plano [pic]entonces|
| |[pic] |
| | |
| | |
| |se llama unaecuación cartesiana del plano [pic] |
| |Si [pic]y si [pic]entonces |
| |[pic] |
| ||
| | |
| |se llama una ecuación vectorial del plano [pic] |


[pic]Tres puntos [pic]y [pic]son no colineales si
[pic]

EJEMPLO 3  


Consideremos un plano[pic]que pasa por los puntos no colineales [pic]y [pic]
1. Ecuación vectorial: [pic]
2. Ecuación cartesiana: un vector normal es [pic]. Como [pic], una ecuación cartesiana es
[pic]
 
[pic]
Figura 33.
La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas.
[pic]
[pic]
a es la abscisa en elorigen de la recta.
b es la ordenada en el origen de la recta.
Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuación general.
Si y = 0 resulta x = a.
Si x = 0 resulta y = b.

Una recta carece de la forma canónica en los siguientes casos:
1Recta paralela a OX, que tiene de ecuación y = n
2Recta paralela a OY, que tiene de ecuación x = k
3Recta que pasa por el origen, que tiene de...
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