poisson

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

Propiedades[editar]
La función de masa o probabilidad de la distribución de Poisson es

f(k,\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}donde

k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de queocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)
Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretacióncombinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.

La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a \scriptstyle\lfloor \lambda \rfloor, el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos \scriptstyle\lfloor \rfloorrepresentan la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.

La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es

\mathrm{E}\left(e^{tX}\right)=\sum_{k=0}^\infty e^{tk} f(k;\lambda)=\sum_{k=0}^\infty e^{tk} {\lambda^k e^{-\lambda} \over k!} =e^{\lambda(e^t-1)}.

Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de serinfinitamente divisibles.

La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es

D_{\mathrm{KL}}(\lambda||\lambda_0) = \lambda \left( 1 - \frac{\lambda_0}{\lambda} + \frac{\lambda_0}{\lambda} \log \frac{\lambda_0}{\lambda} \right).

Intervalo de confianza[editar]
Un criterio fácil y rápido para calcular un intervalo de confianzaaproximada de λ es propuesto por Guerriero (2012)1 . Dada una serie de eventos k (al menos el 15 - 20) en un periodo de tiempo T, los límites del intervalo de confianza para la frecuencia vienen dadas por:

F_{low}=(1-\frac{1.96}{\sqrt{k-1}}) \frac{ k}{T}
F_{upp}=(1+\frac{1.96}{\sqrt{k-1}}) \frac{ k}{T}
entonces los límites del parámetro \lambda están dadas por: \lambda_{low}=F_{low} T;\lambda_{upp}=F_{upp} T.

Relación con otras distribuciones[editar]
Sumas de variables aleatorias de Poisson[editar]
La suma de variables aleatorias de Poisson independientes es otra variable aleatoria de Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros de las originales. Dicho de otra manera, si

X_i \sim \mathrm{Poi}(\lambda_i)\,, i=1,\dots, N
son N variables aleatorias de Poissonindependientes, entonces

Y = \sum_{i=1}^N X_i \sim \mathrm{Poi}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\,.
Distribución binomial[editar]
La distribución de Poisson es el caso límite de la distribución binomial. De hecho, si los parámetros n y \theta de una distribución binomial tienden a infinito (en el caso de 'n') y a cero (en el caso de \theta) de manera que \!\lambda=n\theta se mantenga constante,...