Polinomio

POLINOMIOS DE LEGENDRE.
1. DEFINICIÓN.
Se definen los polinomios de Legendre por
la cual es llamada fórmula de Rodrígues. De aquí, se obtiene
De acuerdo con el desarrollo binomial, se tiene quepor lo que, al sustituir en (1), queda
•
y, como
resulta que
2. FUNCIÓN GENERADORA.
La función
es llamada función generadora de los polinomios de Legendre, ya que
En efecto:
Usando la conocidafórmula
queda
y como
se tiene que
2
1 + "f 1 . 3 . 5 ... (2~, - 1)tn(2.T - tt
n=l 2n n.
1 1·3 1·3·5 '
1+ --, t(2x - t) + -2-' t2(2x - t)2 + 3 , t3(2x - t)3 + 2· 1. 2 2. 2 3.
+ + 1·3·5· ..(2n - 3) tn-1(2x _ tt-1 +
2n-l(n - 1)!
1 . 3 . 5 ... (2n - 1) +-----' __ntn(2x - tt + .
2nn!
Llamando a.; (x) al coeficiente de t" ,se verá a continuación que a., (x) =
Pn(x):
_1_·3_·_5_· _..~(2_n_, ----=-1) (2x)n _ 1·3·5· .. (2n - 3) (n - 1) (2x)n-2 +
2nn! 2n-l(n - 1)! 1!
+1·3·5· .. (217,- 5) (n - 2)(n - 3) (2xt-4 _ + .....
2n-2(n - 2)! 2!
Usando la identidad
(2n)!
1·3·5· .. (2n - 1) =-
2nn!
resulta que
(2n)! n (2n - 2)! n-2
n , ,x - n '( )' ( 9)' x + 2 n.n. 2 1. ti - 1 . n - ~ .
(2n - 4)! n-4 +2n2!(n - 2)!(n _ 4)!x - + .
Pn(x)
Tomando x = 1 en (4), se tiene
00 1 00LPn(1)tn = (1 - 2t + t2)-1/2 = 1_ t = Li"
~O n~
de donde •
P,,(l) = 1 (5)
3
(6)
Similarmente, para x = -1 se obtiene
Se observa que
00
(1 + 2xt + t2)-1/2 = [1 - 2( -x)t + er1/2 = L Pn( -x)tn
n=O00
[1 - 2x( -t) + (_t)2rl/2 = L Pn(x)( _t)n
n=O
00
L(-ltPn(x)tn
n=O
y, al comparar ambos resultados, se obtiene que
(7)
La fórmula (7) dice que Pn (x) es una función par si n es par y unafunción
impar cuando ti es impar.
3. FÓRMULAS DE RECURRENCIA.
Derivando la función generadora w(x, t) respecto a t, se tiene
aw
at
de donde se obtiene
aw (1 - 2xt + t2)a¡ + (t - x)w = O
Entérminos de las series, queda
00 00
(1 - 2xt + t2) L nPn(x)tn-1 + (t - x) L Pn(x)tn = O
n=O 11=0 •
Igualando a cero el coeficiente de i"; se tiene
(71 + 1)Pn+1(x) - 2xnPn(x) + (n - l)P"_l(:r) +...