Polinomios de Chebyshev

POLINOMIOS DE CHEBYSHEV.

cuadratura, para encontrar la integral de una función no
singular definida sobre un rango finito.

RESUMEN: En este artículo se hablara sobre los
Polinomios de Chebyshev, los polinomios de primer tipo
Tn y los de segundo tipo Un, algunas propiedades de
estos polinomios, analizando sus rangos de existencia
que veremos será finito pero luego con un análisispodemos determinar los polinomios de Chebyshev
desde -∞ hasta +∞. Se hará una relación entre los dos
tipos de Polinomios de Chebyshev los Tn y los Un donde
podremos apreciar gráficamente su similitud y la
diferencia en sus magnitudes, llegando con todo esto a
unas conclusiones en las cuales se dirán algunas
aplicaciones para los Polinomios de Chebyshev.

Por la relación discreta deortogonalidad de los
polinomios de Chebyshev, se comprueba que diversos
métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales
y no lineales, así como al integrar ecuaciones
diferenciales tienen ventaja considerable sobre el
método de diferencias finitas , una expansión de
Chebyshev puede ser aplicada para resolver ecuaciones
integrales no lineales complicadas encontradas en
mecánica cuántica, teoríade campo y dinámica de
fluidos.

PALABRAS CLAVE: Polinomios de chebyshov,
polinomios de primer tipo, polinomios de segundo tipo,
deducción de los polinomios de Chebyshev

2 POLINOMIOS DE CHEBYSHEV DE
PRIMER TIPO (Tn)
Se definen con la expresión:

ABSTRACT: This article will talk about the Chebyshev
polynomials, polynomials Tn first type and second type
Un, some properties of thes epolynomials, analyzing
their ranges of existence we will see is finite but then an
analysis can determine the Chebyshev polynomials from
- ∞ up to + ∞. A relationship between the two types o f
Chebyshev polynomials Tn and Un where we can
graphically assess the similarities and difference in their
magnitudes, with all this coming to a conclusion in which
some applications for Chebyshevpolynomials will say it
will.

(2.3)
Donde n es cualquier número natural, se conoce como el
Polinomio de Chebyshov de orden n.
La función es un polinomio en x, finito para todo x ≠ ∞.
El polinomio de orden n, es definido por (2.3)

KEY WORDS: Chebyshev polynomials, polynomials first
type, second type polynomials, deduction of Chebyshev
polynomials .

De donde obtenemos los polinomios

1LOS POLINOMIOS

(2.4)

Los polinomios de Chebyshev tienen aplicaciones
en el campo de aproximaciones polinomiales, análisis
numérico, series de Fourier entre otras. Y se pueden
obtener directamente por medio de fórmulas
trigonométricas de senos y cosenos.

Y si llamamos, para simplificar,

Reemplazando, obtenemos:

Es bien sabido que los polinomios de Chebyshev tienen
ampliasaplicaciones en varios campos de matemáticas
y física. Combinan características útiles de la serie de
Fourier (a las que están relacionados) y simplicidad de
análisis de polinomios. Dado que estos son polinomios
eficientes para aproximar funciones arbitrarias, tienen
amplias aplicaciones en análisis numérico. Existen
varios enfoques posibles para el problema de una curva
apropiada. Los polinomiosde Chebyshev del primer tipo
(Tn) también son utilizados para esquemas de

(2.5)
A su vez, la función inversa de u es:
(2.6)
De acuerdo con la definición dada más arriba, el
Polinomio de orden n + 1, será:

1

UTP. Soto. Polinomios de Chebyshev.

.
4. Tn(x) tiene n raíces reales en el intervalo
siendo estas de la forma:

(-1,1),

Y el de orden n -1:

Al aplicar las fórmulasdel coseno de la suma y del
coseno de la diferencia, las dos últimas igualdades
quedan modificadas como sigue:

6. A los puntos x donde Tn(x) alcanza los valores
extremos ±1 se les denomina puntos de Gauss -Lobatto.
7. No existe polinomio Pn(x) n-ésimo grado con
coeficiente mayor o igual a la unidad, que se verifique.
8. Las derivadas de Tn pueden obtenerse mediante la
siguiente relación...