Polinomios de taylor

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5. POLINOMIOS DE TAYLOR

La serie de Taylor proporciona un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Establece que cualquier función suave puede aproximarse por un polinomio.

Si la función f(x) y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a y x, entonces el valor de la función estádado por:

[pic] (5.1)

[pic]

Donde Rn es el residuo o error de truncamiento que se comete en la serie de Taylor y se obtiene como el valor no nulo de la función que se está aproximando.

La ecuación (5.1) se llama serie de Taylor ó fórmula de Taylor. Si se omite el residuo, el lado derecho de (5.1) es la aproximación del polinomio de Taylor para f(x). Si x = 0 en la ecuación (5.1) seobtiene la llamada Serie de Mc Laurin.

5.1 Comandos y funciones MatLab para analizar y desarrollar la Serie de Taylor

A continuación se presentan los comandos y funciones empleados en MatLab 7.0 para aplicar y simplificar los cálculos y expresiones de la Serie de Taylor.

|Función |Descripción|
|syms x y z … t |Convierte las variables x,y,z,…t en simbólicas. |
|r = taylor( f ) |Halla el desarrollo de Mc Laurin de orden 5 para la función f en la variable por defecto. |
|r = taylor( f, n, v ) |Halla el desarrollo de Mc Laurin de orden n -1 para la función fen la variable v. |
|r = taylor( f, n, v, a ) |Halla el desarrollo de Taylor de orden n -1 para la función f en la variable v en un entorno del punto|
| |a. |
|pretty(exp.) |Convierte la expresión simbólica aescritura matemática. |
|simplify(S) |Simplifica cada elemento de la matriz o expresión simbólica S. simple muestra los procesos; simplify |
|simple(S) |solo muestra el resultado |
|double(x) |Convierte lavariable o expresión x a valor numérico de doble precisión. |
|syms x, int(f(x), x) ó |Calcula la integral indefinida[pic] |
|int(‘f(x)’,’x’) | |
|syms x a b, int(f(x),|Calcula la integral definida [pic][pic] |
|x, a, b) | |

Ejemplo 5.1. Para la siguiente función obtener el polinomio por defecto y el polinomio de grado N = 10 en un entorno del punto x = 1.[pic] (5.2)

Solución:

Escribiendo las instrucciones en la ventana de comandos de MatLab para resolver la Ec.(5.2) tenemos:

| |
|>> syms x|
|>> f = 1/(2-x); |
|>> polinomio_default = taylor(f) % Se obtiene un polinomio de grado 5 por |
|defecto....
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