Politecnico-calculo vectorial

I.E.S. “POLITÉCNICO”. CARTAGENA. CÁLCULO VECTORIAL.

CÁLCULO VECTORIAL
1. INTRODUCCIÓN
Magnitud: Es todo aquello que se puede medir experimentalmente. Las magnitudes
físicas se clasifican en escalares y vectoriales.
Magnitud escalar: Es aquella que vienen perfectamente definida por un número y su
unidad, es decir, por su módulo. Ej.: longitud, energía, tiempo, etc.
Magnitud vectorial: Esaquella que vienen perfectamente definida por un módulo, una
dirección, un sentido y un punto de aplicación. Ej.: velocidad, fuerza, aceleración, etc.
Las magnitudes vectoriales se representan gráficamente por vectores (Fig. 1). En
esencia un vector es un segmento rectilíneo con una determinada orientación.
MÓDULO

DIRECCIÓN

PUNTO DE
APLICACIÓN

SENTIDO

Figura 1. Representacióngráfica de un vector.
El módulo es la longitud del vector.
La dirección es la recta que contiene al vector.
El sentido es el indicado por la flecha.
El punto de aplicación es el origen del vector
Para distinguir las magnitudes vectoriales se les coloca una flecha encima del símbolo de
la magnitud, o bien se escriben en negrita (sólo en libros de texto). F, v, a. Así: F, es el
vector fuerza. Elmódulo se representa por el símbolo o más frecuentemente con el vector
entre 2 líneas paralelas: F, o bien,

F

.

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR
Para representar un vector gráficamente, en el espacio, necesitamos sus tres coordenadas (x, y, z) (Fig. 2). Ejemplo: v (3,4,1).
1
© CAYETANO GUTIÉRREZ PÉREZ (Catedrático de Física y Química).

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z

v

y

x
Figura 2. Representación gráfica de un vector.
El vector se obtiene uniendo el origen de coordenadas, con el punto del espacio, que posee esas coordenadas. Sentido: desde el origen al punto en cuestión.
Para representarlo analíticamente es necesario definir los llamados vectores unitarios.
Un vector unitario (u) es un vector de módulo la unidad y cuyadirección, sentido y punto
de aplicación, coinciden con el vector v, de tal manera que la relación entre ambos es v =
v · u = |v| . u.
Para hallar un vector unitario u, en la dirección y sentido de otro vector v, basta dividir el
vector por su módulo.
u=

v
v

u

v

En física hay tres vectores unitarios, asignados a los tres ejes de coordenadas, que son
respectivamente: i, j y k.
zk j
i

y

x
Figura 3. Representación gráfica de los 3 vectores unitarios.
Las coordenadas de los 3 vectores unitarios son: i (1,0,0); j (0,1,0); k (0,0,1).
Para representar analíticamente un vector, emplearemos los vectores unitarios anteriormente mencionados. Por ejemplo el vector anterior se designa como:
2
© CAYETANO GUTIÉRREZ PÉREZ (Catedrático de Física y Química).

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v = 3 .i + 4 . j + k
3. CÁLCULO DEL MÓDULO DE UN VECTOR
1º. El vector tiene su punto de aplicación en el origen de coordenadas (0, 0, 0):
Sea el vector v (x, y, z), cuyo punto de aplicación está en el origen de coordenadas.
z
v (x, y, z)

O (0, 0, 0)
y
x
Figura 4. Vector v que parte del origen de coordenadas
El cálculo se realiza de lasiguiente manera:

v = x .i + y . j + z .k
v = ( x − 0) 2 + ( y − 0) 2 + ( z − 0) 2
v =

x2 + y 2 + z 2

Hemos aplicado la fórmula que nos da la distancia entre 2 puntos cualesquiera del espacio, con la que obtendremos la longitud del vector:
Si v = 1 , se trataría de un vector unitario y si v ≠ 1 , no sería un vector unitario.
Para calcular un vector unitario en la dirección y sentido de otrobasta con dividir el vector
entre su módulo:
u=

v
v

Así, por ejemplo, sea el vector v (3, 0, -4)
u =

v
v

=

3 .i + 0 . j − 4 . k
3

2

+ 0

2

+ 4

2

=

3 .i − 4 . k
5

=

3
4
i −
.k
5
5

Así obtenemos un vector unitario, en la dirección y sentido del vector v, cuyas coordenadas son (3/5, 0, -4/5).
3
© CAYETANO GUTIÉRREZ PÉREZ (Catedrático de...