Porfavor

Univ. de Alcal´ de Henares a C´lculo. Segundo parcial. a

Ingenier´ de Telecomunicaci´n ıa o Curso 2004-2005

Propiedades de las funciones diferenciables. 1. Regla de la cadena

Despu´s de la generalizaci´n que hemos elaborado en el anterior cap´ e o ıtulo, podemos empezar a utilizar ese lenguaje para extender a las funciones f : Rn → Rm muchos resultados que hemos visto en el caso defunciones de una variable. El primero de ellos va a ser la regla de la cadena. Recordemos que la regla de la cadena se utiliza cuando queremos derivar una composici´n o de funciones. Supongamos por tanto que tenemos dos funciones que se pueden componer. Por ejemplo, f : Rn → Rm y g : Rm → Rk . Vamos a utilizar esta notaci´n: o y = f (¯) , con x = (x1 , . . . , xn ) y con y = (y1 , . . . , ym ) ¯ x ¯ ¯z = f (¯) , con z = (z1 , . . . , zk ) ¯ y ¯ Supongamos adem´s que tenemos un punto p ∈ Rn y sean q = f (¯), r = g(¯). Vamos a considerar a ¯ ¯ p ¯ q la composici´n o h(¯) = g(f (¯)) = (g ◦ f )(¯) x x x Entonces tenemos una aplicaci´n (g ◦ f ) : Rn → Rk , que transforma x en z pasando por y : o ¯ ¯ ¯ x −→ y −→ z ¯ ¯ ¯ Para poder analizar la diferenciabilidad de h necesitamos suponer que f esdiferenciable en p y ¯ ¯ que g es diferenciable en q . Eso significa que se tiene f (¯) ≈ f (¯) + Df (¯) · (¯ − p) x p p x ¯ cuando x est´ cerca de p y que ¯ a ¯ g(¯) ≈ g(¯) + Dg(¯) · (¯ − q ) y q q y ¯ cuando y est´ cerca de q . Al componer f con g lo que hacemos es sustituir y por f (¯). Haciendo ¯ a ¯ ¯ x esta misma substituci´n en las anteriores aproximaciones se obtiene: o h(¯) = g(f (¯)) ≈ g(¯) +Df (¯) · f (¯) + Df (¯) · (¯ − p) − q x x q q p p x ¯ ¯ Usamos que f (¯) = q y que, por tanto, g(¯) = g(f (¯)) = h(¯) para simplificar esta expresi´n: p ¯ q p p o h(¯) ≈ h(¯) + Df (¯) · Df (¯) · (¯ − p) x p q p x ¯ Recordemos ahora que si la aplicaci´n h : Rn → Rk es diferenciable en p, entonces esperamos o ¯ encontrar una matriz Dh(¯) de orden (k, m) tal que la aproximaci´n: p o h(¯) ≈ h(¯) +Dh(¯) · (¯ − p) x p p x ¯ sea muy buena cerca de p. Comparando esta expresi´n con la anterior, este razonamiento, ¡que ¯ o no es una demostraci´n formal!, nos permite entender el siguiente enunciado de la regla de la o cadena. 1

Teorema 1 (Regla de la cadena). Sean f : Rn → Rm , g : Rm → Rk . Si f es diferenciable en p ∈ Rn , y g es diferenciable en q = ¯ ¯ m , entonces h = (g ◦f ) es diferenciableen p y, adem´s, D(g ◦f )(¯) = Dg(f (¯))◦Df (¯). f (¯) ∈ R p ¯ a p p q

1.1.

Otras expresiones de la regla de la cadena

Al presentar y enunciar la regla de la cadena hemos empleado la notaci´n matricial para o subrayar el hecho de que el razonamiento por el que se obtiene este resultado no es esencialmente m´s complicado que lo que hicimos en el caso de funciones de una variable. a Sinembargo, en muchas aplicaciones es importante saber expresar la regla de la cadena en t´rminos de las funciones componentes. Estas otras expresiones siempre se deducen del resultado e general, simplemente desarrollando el producto matricial. Vamos a ver c´mo. o Si por un lado escribimos f = (f1 , . . . , fm ), con fi (¯) = fi (x1 , . . . , xn ) y por otro lado x g = (g1 , . . . , gk ), con gj (¯) =gj (y1 , . . . , ym ), entonces: y D(g ◦ f )(¯) = Dg(f (¯)) · Df (¯) = p p p  ∂f1  ∂x1     ∂f2   ∂x1     ∂fm ∂x1 ∂f1 ∂x2 ∂f2 ∂x2 ∂fm ∂x2 ··· ··· .. .   ∂f1  ∂xn        ∂f2    ·  ∂xn         ∂fm  ∂xn f (¯) p ∂g1 ∂y1 ∂g2 ∂y1 ∂gk ∂y1 ∂g1 ∂y2 ∂g2 ∂y2 ∂gk ∂y2 ··· ··· .. .  ∂g1 ∂ym     ∂g2   ∂ym     ∂gk  ∂ym
p ¯

···

···

Los sub´ ındices de lasmatrices indican los puntos donde se calculan las derivadas parciales. Otra forma de describir esta situaci´n anterior es mediante la notaci´n que ahora vamos a o o describir. Por un lado, la aplicaci´n que hemos llamado f de Rn en Rm se representa mediante o estas ecuaciones:  y1 = y1 (x1 , . . . , xn )    y2 = y2 (x1 , . . . , xn ) f:  .  .  .   ym = ym (x1 , . . . , xn ) Y por otro...