Porgramacion lineal

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Programación Lineal

¿Qué es la programación lineal?
En infinidad de aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc... Se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones. Para hacernos una idea más clara de estos supuestos, veamos dos ejemplos:Ejemplo 1: Problema de máximos.
En una granja se preparan dos clases de forrajes, P y Q, mezclando dos productos A y B. Un saco de P contiene 8 kg de A y 2 de B, y un saco de Q contiene 10 kg de A y 5 de B. Cada saco de P se vende a 300 pesos. y cada saco de Q a 800 pesos. Si en la granja hay almacenados 80 kg de A y 25 de B, ¿cuántos sacos de cada tipo de forraje deben preparar para obtener losmáximos ingresos?
Ejemplo 2: Problema de mínimos.
Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30,000 yogures. Cada yogur de limón necesita para su elaboración 0.5 gramos de un producto de fermentación y cada yogur de fresa necesita 0.2 gramos de este mismo producto. Se dispone de 9kilogramos de este producto para fermentación. El coste de producción de un yogur de limón es de 30 pesos y 20 pesos uno de fresa.
En los dos ejemplos descritos está claro que tanto la cantidad que deseamos maximizar como la cantidad que deseamos minimizar podemos expresarlas en forma de ecuaciones lineales. Por otra parte, las restricciones que imponen las condiciones de ambos problemas se puedenexpresar en forma de inecuaciones lineales.
En los dos ejemplos descritos está claro que tanto la cantidad que deseamos maximizar como la cantidad que deseamos minimizar podemos expresarlas en forma de ecuaciones lineales. Por otra parte, las restricciones que imponen las condiciones de ambos problemas se pueden expresar en forma de inecuaciones lineales.

Tratemos de plantear en términosmatemáticos los dos ejemplos anteriores:
1) Si designamos por “x” al número de sacos de forraje de clase P y por “y” el número de sacos de forraje de clase Q que se han de vender, la función: Z = 300x + 800y representará la cantidad de pesos obtenidas por la venta de los sacos, y por tanto es la que debemos maximizar. Podemos hacer un pequeño cuadro que nos ayude a obtener las restricciones:Nº | kg de A | kg de B |
P | x | 8x | 2x |
Q | y | 10y | 5y |
80 | 25 |

Por otra parte, las variables “x” e “y”, lógicamente, han de ser no negativas, por tanto: x 0, y 0 Conjunto de restricciones:
8x + 10y 80 |
2x + 5y 25 |
x 0, y 0 |
2) Si representamos por “x” el número de yogures de limón e “y” al número de yogures de fresa, se tiene que la función de coste esZ = 30x + 20y.
Por otra parte, las condiciones del problema imponen las siguientes restricciones:
• De número : x + y 80
• De fermentación: 0.5x + 0.2y 9000
• Las variables x e y han de ser, lógicamente, no negativas; es decir: x 0, y 0

Conjunto de restricciones:
x + y 80 |
0.5x + 0.2y 9000 |
x 0, y 0 |

En definitiva: Se llama programación lineal al conjunto de técnicasmatemáticas que pretenden resolver la situación siguiente: Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a: Una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.

Determinación de la región factible
La solución de un problema de programación lineal, en el supuesto de que exista, debe estar en la región determinada por las distintasdesigualdades. Esta recibe el nombre de región factible, y puede estar o no acotada.

La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio ( o ) o en sentido estricto (< o >).
Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones....
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