Portafolio mate ii

INDICE

1. Derivadas ……………...……………………………………………………….1
1.1 Definición
1.2 Notación
1.3 Tipo de derivadas……………………………………………………..3
1.3.1 Derivadas de funciones básicas…………………………..4
1.3.1.1 Función constante
1.3.1.2 Función identidad
1.3.1.3 Tipo potencial simple
1.3.2 Derivadas de funciones compuestas…………………….6
1.3.2.1 Tipo potencial
1.3.2.2 Tipo racional
1.3.3 Derivadas de funcionesexponenciales y logarítmicas...7
1.3.3.1 Tipo exponencial
1.3.3.2 Tipo logarítmica
1.3.4 Derivadas paramétricas…………………………………...8
1.3.5 Derivada de orden superior……………………………….9
1.3.6. Derivadas parciales………………………………………10
1.4Propiedades de derivadas…………………………………………..11
1.4.1 Multiplicación de dos funciones
1.4.2 División de dos funciones
1.4.3 Notación
1.4.4. Derivada de la derivada deuna función
2. Razón de cambio……………………………………………………………..15
2.1 Razón de cambio instantánea
2.2 Razón de cambio promedio
2.3 Razón de cambio porcentual
3. Variación……………………………………………………………………….17
3.1 Variación Real
3.2 Variación aproximada

4. Ecuación de la recta tangente……………………………………………….19

5. Regla de la cadena…………………………………………………………...25
6. Regla deL´Hospital…………………………………………………………..27

7. Derivada de Primer Orden…………………………………………………...29

8. Derivada de Segundo Orden………………………………………………...30

9. Diferencial de una función……………………………………………………31

10. Teorema de Euler……………………………………………………………33

11. Matriz Hessiana………………………………………………………………35

12. Optimización de funciones…………………………………………………..37


La derivada representa cómo una función cambia a medida que su entrada cambia.



Existen diversas formaspara nombrar a la derivada. Si f es una función, se escribe la derivada de la función respecto al valor en varios modos:
• f´(x) {Notación de Lagrange}
se lee "efe prima de equis"
• {Notaciones de Cauchy y Jacobi, respectivamente}
se lee " sub de ", y los símbolos D y d deben entenderse como operadores.
• { Notación de Newton}
se lee "punto " o " punto". Actualmente está endesuso en Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.
• , ó {Notación de Leibniz}
se lee "derivada de ( ó de ) con respecto a ". Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada deuna función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.
La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de en el punto a, se escribe:
para la primera derivada,
para la segunda derivada,
para la tercera derivada,
para la enésima derivada (n > 3).EJEMPLOS:


1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.


9.


10.


11.


12.

13.

14.


15.


16.


17.


18.


19.


20.





EJEMPLOS:

1.


2.


3.



EJEMPLOS:

1.


2.


3.


4.


5.

6.

7.

8.

9.EJEMPLOS:
1.



EJEMPLOS:
1.

a.
b.


NOTACIÓN:
• y´ ; y´´ ; y´´´ ….
• f´ ;f´´ ; f´´´ ….
•
•
•
EJEMPLOS:
Halle
Si:











Una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras, constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculovectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

EJEMPLO:
• Considera el volumen V de un cono; Éste depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula

Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:...