Potencias y raíces cuadradas

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6

Potencias y raíz cuadrada

E

l tema comienza con la exposición del concepto de potencia, principio necesario para explicar, a continuación, los cuadrados y cubos perfectos y las potencias de base 10, las cuales simplifican la expresión de ciertos números muy grandes o muy pequeños. Posteriormente, se aborda el concepto de raíz cuadrada y su cálculo, así como el estudio de la jerarquíade las operaciones. Las potencias y raíces se emplean con frecuencia en diversas situaciones cotidianas. Por ejemplo, si en una finca cuadrada se han plantado 15 nogales por cada fila y cada columna, y cada uno de los nogales cuesta 15 €, el precio total de los nogales se puede expresar en forma de potencia: 153 € Un ejemplo inverso al anterior se da si se conoce el área de la finca cuadrada, porejemplo 625 m2, y quiere saberse cuánto mide cada lado. Para poder determinarlo, se realizará una raíz cuadrada: √625 = 25 m

ORGANIZA TUS IDEAS
POTENCIA
es un tiene

producto an =a·…·a
6n veces8 4 4 7

de la

propiedades:

que tiene

raíz cuadrada

• an · a p = a n + p • an : a p = a n – p • (an)p = an · p • (a · b)n = an · bn • (a : b)n = an : bn

base: a

exponente: n
essi n = 2

la base: a

105

1. Potencias

PIENSA Y CALCULA
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno:
1 1 2 4 3 4 5 6 7 49 8 9 10

Carné calculista 3 708,41 : 75 Casos particulares
0 =0 3 0 =0·0·0=0 4 1 =1 4 1 =1·1·1·1=1
3

1.1. Potencia
Una potencia es un producto de factores iguales.
exponente base n

=a·a·…·a La base de una potencia es el factor que se multiplica y elexponente es el número de veces que se multiplica la base. Si el exponente es 2, se lee al cuadrado; si es 3, al cubo; si es 4, a la cuarta; si es 5, a la quinta; etcétera. Ejemplo 23 = 2 · 2 · 2 = 8 2 es la base y 3 es el exponente

an

4m

1.2. Cuadrados y cubos perfectos
Los cuadrados perfectos son los números que se obtienen al elevar al cuadrado los números naturales. Son los siguientes:0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121… La interpretación geométrica del cuadrado de un número es el área de un cuadrado cuyo lado mide el número dado. Los cubos perfectos son los resultados que se obtienen al elevar al cubo los números naturales. Son los siguientes: 0, 1, 8, 27, 64, 125… La interpretación geométrica del cubo de un número es el volumen de un cubo cuya arista mide el númerodado.

A = 16 m2

5m

V = 125 m3

1.3. Potencias de base 10
Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente. Ejemplo 103 = 1 000 Comprobación: 103 = 10 · 10 · 10 = 1 000

)

1.4. Notación científica
La notación científica de un número es la expresión de dicho número como producto de un número decimal en el que la parte entera está formadapor una sola cifra no nula y una potencia entera de 10 106

BLOQUE I: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

La notación científica se utiliza para representar números muy grandes o muy pequeños. Ejemplo Año luz = 9,461 · 1012 km = 9 461 000 000 000 km Radio del átomo de oxígeno = 6,6 · 10 –11 m = 0,000000000066 m

1.5. Signo de una potencia
El signo de una potencia depende del signo de la base y de queel exponente sea par o impar: a) Si la base es positiva, la potencia es positiva. b) Si la base es negativa, se pueden presentar dos casos: • Si el exponente es par, el resultado es positivo. • Si el exponente es impar, el resultado es negativo.
Base + – – Exponente Par o impar Par Impar Signo del resultado + + – 23 Ejemplo = 8; 24 = 16 (– 2)4 = 16 (– 2)5 = – 32

1.6. Uso de la calculadora
Lacalculadora tiene las siguientes teclas de potencias: x2 x3 ∧ o xy EXP Calcula el cuadrado Calcula el cubo Calcula x elevado a y Calcula 10 elevado a … 172 143 56 105 17 x2 = 289 14 x3 = 2744 5 ∧ 6 = 15625 EXP 5 = 100000

APLICA LA TEORÍA
1 Calcula mentalmente el resultado de las siguientes 7 Escribe los cuadrados perfectos menores o iguales

potencias: a) 32 b) (– 3)2 c) 33 d) (– 3)3

que...
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