Pozo de potencial


R

R



























INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL



Ecuación de Schrödinger








ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

-RJR-







Índice
Agradecimiento …………………………………....................... 6
1. Introducción ……………………………………………….. 7
2. Ecuación general de Schrödinger ………………………. 8
3. Ecuación deSchrödinger independiente del tiempo ……….. 13
4. Partícula libre ……………………………………………………… 16
5. Segunda solución, potencial escalón ………………………. 22
6. Barrera de potencial ……………………………………………… 32
7. Pozo de potencial ……………………………………………… 38
8. Tabla de resumen general ……………………………………… 42
9. Conclusiones generales ...…………………………………… 47
Notas …………………………………………………………………………….. 48Agradecimiento

Expresamos nuestro más sincero reconocimiento para nuestra querida profesora Dra. Georgina García Pacheco que ha ayudado a dar vida a este libro.





















Introducción.
En el estudio del comportamiento de la onda de materia se ha tratado de encontrar un modelo matemático general que pueda explicar su comportamiento en diferentes circunstancias, tal comoocurre con las ondas electromagnéticas y mecánicas.
A partir de que Planck introdujo el concepto quantum se inicio el estudio de los fenómenos que dieron pie al nacimiento la de la mecánica cuántica y con ésta nacieron nuevas interrogantes; y que sin embargo, la teoría existente hasta ese entonces no fue suficiente para responderlas. Por esta razón, el físico Edwin Schrödinger desarrollo laecuación general de ondas de materia para una mejor comprensión y predicción de los fenómenos se manifestaban a nivel microscópico; es decir, el estudio de los sistemas capaces de manifestar dualidad. De igual manera que las ondas electromagnéticas y mecánicas tienen una ecuación general de onda que explicaba el comportamiento.
Debido a que las ecuaciones de onda ya existentes para ondaselectromagnéticas y ondas mecánicas tienen cierta similitud (ec. (a), (a’) y (b)) se puede intuir que la ecuación general que buscamos debe tener una relación con estas ecuaciones que a continuación se muestran:
Ondas electromagnéticas:
.......... (a)
.......... (a’)
Ondas mecánicas:
………. (b)
Ahora que ya se tienen diferentes puntos de partida y conceptos. Se iniciará con el desarrollo de la ecuacióngeneral de las ondas de materia.




Ecuación general de Schrödinger.
Con el fin de explicar los fenómenos ondulatorios relacionados con las ondas de materia, se desea encontrar una ecuación general de onda de materia, que exprese el comportamiento y características de ésta. La ecuación de onda debe cumplir con las características, expresadas a través de los siguientes postulados, loscuales se basados en las observaciones experimentales vistas anteriormente.
POSTULADO 1.
Debe estar en función del espacio y del tiempo, además de representar la dualidad onda-materia, es decir debe de cumplir el postulado de De Broglie, y la ley de Planck:
λm= E=hν

POSTULADO 2.
Los sistemas duales deben suponerse, ya queexperimentalmente se observo que tienen la capacidad de difractarse. Y debido a que este fenómeno sólo puede explicarse a través de la superposición de las ondas individuales que forman el patrón de difracción. Así, si cada una de las funciones que constituyen la combinación es solución, el conjunto de ellas también lo es.
Ψ=aψ1+ bψ2 + cψ3 + dψ4 +…+
Siendo a, b y c constantes. Además cada término debeser una solución de la ecuación, esta expresión deber ser una superposición lineal, es decir cada término debe estar elevado a la primera potencia.
POSTULADO 3.
La energía total del sistema deber ser igual a la energía cinética más a la energía potencial.
E= k + u= +u
POSTULADO 4.
La energía total del sistema tiene que ser invariante en el tiempo. Ya que la energía está directamente...