Practica de transformada z

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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas

Comunicaciones II

Profesor: M. en C. Lucas Bravo Andrés

Estudiante: Piña Arellano Ricardo

Práctica 6

Transformada “Z”

Fecha de realización: 15-Octubre-2010

Fecha de entrega: 18-Octubre-2010

Grupo: 5BV1

Semestre B

INTRODUCCIÓN

Cuando se creó la teoría delas comunicaciones, existen dos formas importantes de analizar un sistema de comunicación y que después dio origen a los de control. Básicamente estas dos formas derivan del hecho de tener sistemas de tipo analógico y digital. Los primeros son analizados en tiempo continuo y los segundos en tiempo discreto. En los sistemas de comunicación como de control resulta a veces complicado analizar estossistemas en su respectivo dominio temporal, utilizando funciones de variables reales, es por ello que se crearon distintas formas de hacer más sencillo este análisis, una de ellas cambiar de dominio y utilizar funciones de variables complejas. A estos métodos de cambiar de dominio temporal a la frecuencia compleja lo denominaron transformación, y estas transformadas para cada tipo de dominio temporalson: para el tiempo continuo la transformada de Laplace y para el tiempo discreto la transformada Z. Ambas transformadas mapean de un espacio temporal a un espacio de frecuencia compleja.

En nuestro caso al trabajar con tiempo discreto, toca establecer las características y usos de la transformada Z. Matemáticamente podemos definir a la transformada Z de una señal infinita o finita x[n] porla siguiente igualdad:

Xz≔n=-∞+∞xnz-n, donde z∈C y se define como z≔rejω

Si se observa podemos decir que r representa la atenuación de la señal de entrada y ω la frecuencia real. En el análisis de esta transformada es importante definir la convergencia que tiene, es decir, bajo qué condiciones converge o no converge.

Por teoría de de convergencia de una serie, se decide que la serieconverge si:

Xz<+∞

⇒n=-∞+∞|xnz-n|<+∞

si z→rejω⇒n=-∞+∞xnr-n<+∞

Esta última condición representa la condición suficiente para que la transformada Z de una señal x[n] exista.

Normalmente al rango de valores reales de r para los cuales se satisface la condición anterior se le conoce como región de convergencia ROC. Entonces podemos decir que X(z) no converge para todas la secuenciasx[n] ni tampoco para todos los valores de z.

Qué pasa si siendo
Xz|z→z=rejω⇒X(rejω)

Entonces si reemplazamos r=1 en la última expresión tenemos:

X(ejω)

es la transformada de Fourier, entonces podemos decir que:

Xejω=X(z)z=ejω⇔r=1

Así decimos que la transformada de Fourier es un caso espacial de la transformada Z cuando r=1.

La ROC de una transformada Z queda establecida dela siguiente forma:

Rx-<z<Rx+

Donde por conveniencia son número positivos, pero no necesariamente, porque la simetría del plano imaginario ayuda cuando tratamos de acotar la región correctamente. Es necesario denotar que la transformada Z es una función analítica, dentro de su región de convergencia. Es decir que X(z) y todas sus derivadas representan funciones continuas de Z, dentrode la región de convergencia.

Por ejemplo la siguiente figura ilustra la región de convergencia anterior:

En la práctica la transformada Z, de mayor utilidad es una función racional de la variable Z, que podemos indicar como sigue:

Xz=P(z)Q(z)
En teoría de control a esto se le conoce como funciones de transferencia, que es la encargada de caracterizar al sistema de estudio y bajo ellapodemos encontrar todas sus características que requieran.

Bajo estas condiciones para la transformada Z, podemos entonces definir su correspondiente par de transformada inversa, la transformada Z inversa de X(z), puede ser definida como sigue:

xn≔12πjXzzn-1dz

Donde la integral de línea de refiere a que la función en Z será integrada con base en un contorno C. Este contorno esta acotado y...
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