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Suma de Riemann
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Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodosmáximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores másgrandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha. En matemáticas, la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemánBernhardRiemann.

[editar] Definición
Consideremos losiguiente:
y

una función

donde D es un subconjunto de los números reales
y y

I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D. Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0a4; de modo que la sucesión puede ser decreciente. Debe verificarse si an •an+1 ; esto es, se debe determinar si 2n n+1! • 2n+1 n! 2n n!n+1•2 ·2nn! n+1 •2 Cuando n=1, la desigualdad se convierte en2=2 y se cumple obviamente cuando n>2. Cuando la desigualdad es equivalente a n+1•_2, se infiere que la sucesión dada es decreciente y por tanto monótona. Una cota superior para la sucesión es 2 y una cota inferior es 0. Por tanto, la sucesión es acotada. _ En consecuencia la sucesión {2nn!} es una sucesión monótona acotada, y por el teorema es convergente. El teorema establece que una condiciónsuficiente para que una sucesión monótona sea convergente esta debe ser acotada. 1.7 FUNCION PRIMITIVA

Dada una función f(x) y su derivada f (x), decimos que f(x) es una primitiva de f (x). En otras palabras, si F (x) = f(x) entonces, y sólo entonces, decimos que F(x) es una primitiva de f(x). Ejemplo (1). Una primitiva de (x)2 es la función {draw:frame} {draw:frame} {draw:frame} {draw:frame}. El ejemplo anterior ilustra que si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es F(x) + C. Hay una infinidad de primitivas de una función continua f (x), tantas como valores puede tener la constante arbitraria C en la expresión F(x) + C. Teorema: Dos primitivas, F (x) y G(x), de una misma función f(x) difieren en una constante. Porque, si ponemos U=f (x) í G (x), obtenemos: 1.9 CALCULO DEINTEGRALES DEFINIDAS *INTEGRALES* DEFINIDAS Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b. {draw:frame} Se representa por {draw:frame} . œ es el signo de integración. a límite inferior de la integración. b límite superior de laintegración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS PASO 1.- Integrar la expresión diferencial dada. PASO 2.- Reemplazar la variable en esta integral indefinida en primer lugar por el límite superior, después por el inferior, y restar el segundo resultado del primero. Ejercicio 1:{draw:frame} {draw:frame} Ejercicio 2: {draw:frame} {draw:frame} Ejercicio 3: {draw:frame} {draw:frame} 1.10 INTEGRALES IMPROPIAS En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ’, o a í ’. {draw:frame} Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma: {draw:frame} Laintegral {draw:frame} Puede interpretarse como {draw:frame} Pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo

(0, ’). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor. En contraste al caso...
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