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Cap´ ıtulo 7

La Funci´n Exponencial y la Funci´n o o Logar´tmica ı
M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr´ ıguez S.

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Matem´tica a

···
Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) a o

2
Cr´ditos e ´ Rosario Alvarez, 1984. Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´n, Mar´ Elena Abarca, LissethAngulo. o ıa y Walter Mora. Cristhian Pa´z, Alex Borb´n, Juan Jos´ Fallas, Jeffrey Chavarr´ e o e ıa Walter Mora. Walter Mora, Marieth Villalobos. escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Primera edici´n impresa: o Edici´n LaTeX: o Colaboradores: Edici´n y composici´n final: o o Gr´ficos: a Comentarios y correcciones:

Contenido
7.1 La funci´n exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o7.1.1 Representaci´n del gr´fico de la funci´n exponencial o a o 7.1.2 Algunas propiedades de la funci´n exponencial . . . o 7.1.3 La funci´n exponencial de base e ≈ 2, 718281... . . . o La funci´n logar´ o ıtmica y sus propiedades . . . . . . . . . . . 7.2.1 Representaci´n del gr´fico de la funci´n logar´ o a o ıtmica 7.2.2 Algunas propiedades de la funci´n logar´ o ıtmica . . . 7.2.3 La funci´nlogar´ o ıtmica de base e (e ≈ 2, 718281) . . 7.2.4 La funci´n logar´ o ıtmica de base 10 . . . . . . . . . . . 7.2.5 Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 4 . 5 . 5 . 6 . 8 . 9 . 9 . 9 . 10

7.2

7.1

La funci´n exponencial o

En temas anteriores, hemos definido el significado de expresiones de la forma ax , con “a” un n´mero real posiu 3 1 tivo y x un n´mero racional, porejemplo conocemos el significado de 20 , 23 , 25 , 2 5 , 2 2 , pero por el contrario u √ ıtulo nos interesa estudiar no conocemos el significado de expresiones como 2 3 , 2π , etc. Puesto que en este cap´ expresiones de la forma ax , aceptaremos sin demostrar, que estas expresiones est´n definidas para todo n´mero a u real x, si a ∈ R, a > 0.

Definici´n 1 o Sea a ∈ R, a > 0, a = 1, se llamafunci´n exponencial de base “a”, y se denota Expa , a la funci´n definida o o por: Expa : R −→ ]0, +∞[ x −→ ax

Observaciones o 1. De la definici´n anterior se tiene que Expa (x) = ax 2. La restricci´n a > 0, es indispensable, pues si a fuera cero o un n´mero negativo, se presentar´ algunas o u ıan 1 expresiones no definidas en R, tales como 0−1 , (−2) 2 , 00 , etc.

3

4

La funci´n exponencial yla funci´n logar´ o o ıtmica 3. El caso a = 1 se ha excluido debido a que en este caso se tendr´ 1x = 1, para cada x ∈ R, o sea que 1x ıa es una funci´n constante. o

Ejemplos de funciones exponenciales

a.) La funci´n f definida por f (x) = 2x es la funci´n exponencial de base 2. o o

b.) La funci´n g definida por g(x) = o

1 2

x

es la funci´n exponencial de base o

1 2

7.1.1Representaci´n del gr´fico de la funci´n exponencial o a o

Ejemplo 1 Considere las funciones exponenciales definidas respectivamente por: Exp2 (x), Exp 1 (x) 2 Realice el trazo de estas funciones.

Soluci´n o Para realizar el trazo de estas funciones debemos construir, para cada una de ellas una tabla de valores conveniente de la manera siguiente:

x Exp2 (x)

−2 1 4

−1 1 2

0 1

1 22 4

x Exp 1 (x) 2

−2 4

−1 2

0 1

1 1 2

2 1 4

J. Rodr´ ıguez S. A. Astorga M.

5

7.1.2

Algunas propiedades de la funci´n exponencial o
a>1 Si g(x) = ax ; 0 < a < 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. g(x) > 0; para toda x ∈ R g(0) = 1 g(1) = a g es biyectiva. g es decreciente en todo su dominio. Si x tiende a +∞ entonces ax tiende a 0. Si x tiende a −∞ entonces ax tiende a +∞...
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