presentacic3b3n-wq1_marquestaut-lorences

Integración numérica
En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integraciónnumérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.
El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, comosigue:

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida.

4.2.1. Método del trapecio
La regla del trapecio es la primera delas formulas cerradas de integración de Newton Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación  es de primer grado:

Una línea recta se puede representar como:
1

El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de ƒ(×) entre los limites ɑ y b:

El resultado de la integración es:

Que se denomina regla del trapecio.
Obtención de la regla del trapecio
Antesde la integración, la ecuación se puede expresar como:

Agrupando los últimos 2 términos:

La cual puede integrarse entre x= ɑ y x =b para obtener:

Este resultado se evalúa para dar:

Ahora como b² ‐ ɑ² = (b ‐ ɑ) (b + ɑ).

Multiplicando y agrupando términos se tiene:

Que es la fórmula para la regla del trapecio.
Geométricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar elárea del trapecio bajo la línea recta que une ƒ (ɑ) y ƒ (b). Recuerde que la formula para calcular el area de un trapezoide es la altura por el promedio de las bases. En nuestro caso, el concepto es el mismo, pero el trapezoide esta sobre su lado. Por lo tanto, la integral aproximada se representa como:

Error de la regla del trapecio
Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea rectapara aproximar la integral bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante. Una estimación al error de truncamiento local para una sola aplicación de la regla del trapecio es:

Donde ᵹ está en algún lugar en el intervalo de ɑ a b. La ecuación indica que si la función sujeta a integración es lineal, la regla del trapecio será exacta. De otra manera, para funciones conderivadas de segundo orden y de orden superior (es decir, con curvatura), puede ocurrir algún error.
Ejemplo
1. Aplicación simple de la regla del trapecio.
Planteamiento del problema.
Con la ecuación integre numéricamente


Desde a=0 hasta b=0.8. recuerde de la sección PT6.2 que el valor exacto de la integral se puede determinar en forma analítica y es 1.640533.

SOLUCION: al evaluar la funciónen los limites.

f(0)=0.2
f(0.8)=0.232
sustituyendo la ecuación se tiene que


La cual representa un error de 
 
Que corresponde a un error relativo porcentual de Ɛ1=89.5%.          En situaciones reales, tal vez no conozcamos previamente el valor verdadero. Por lo tanto, se requiere una estimación del error aproximado.
Problema del método de los trapecios(MetTrape) 

Integrarnuméricamente la función erf(x) para x=0,34 utilizando su definición. Se busca tener un error inferior a la tercera cifra decimal.
Utilizando el método de los trapecios, se tiene:


Solución: 
Es interesante constatar, desde el punto de vista numérico, la evolución de la precisión con respecto al tiempo de cálculo(tiempo en segundos para un IBM 50, 10 MHz con coprocesador matemático):...