Presentacion

 

 
Solución numérica de la ecuación de Laplace y su 
aplicación a potenciales eléctricos 
 
Nombre: Amoretti Vidal Jesús Esteban 
 
Curso: Electromagnetismo (Postgrado) 
 
Profesor: Javier Solano 
 
Lima, 26 de Julio del 2007 

 

Solución numérica de la ecuación de Laplace y su 
aplicación a potenciales eléctricos 
 

Resumen 
 

En  este  trabajo  buscamos  resolver la  ecuación  de  Laplace  de  manera  numérica  para 
potenciales eléctricos en cierta región del espacio, conociendo su comportamiento en 
la  frontera  de  dicha  región,  así  como  de  conocer  el  código  fuente  de  las  rutinas 
involucradas  en  el  calculo  de  la  solución.  Estas  condiciones    son  conocidas  como  las 
condiciones de Dirichlet – Neumann. 
 1.‐ Ecuaciones diferenciales parciales 

 
¿Qué es una ecuación diferencial parcial (EDP)? Es un tipo de ecuación diferencial que 
depende de más de una variable independiente. Consideraremos la forma general de 
la EDP de segundo orden para dos variables independientes x e y, la cual viene dada 
por: 
   
(1.0.1) 
 
para x0 ≤ x ≤ xf ,  y0 ≤ y ≤ yf  y con las condiciones de frontera 
 
                       
(1.0.2) 
                             
Estas EDP pueden ser clasificadas en tres grupos: 
 
EDP Elíptica:   
Si  B2 – 4AC  0 
 
Estos  tres  tipos  de  EDP  son  asociados  con  los  estados  de  equilibrio,  estados  de 
difusión,  y  sistemas  oscilantes,  respectivamente.  Estudiaremos  algunos  métodos 
numéricos  para  solucionar  la  EDP  elíptica,  puesto  que  es  el  tipo  de EDP  a  la  que 
pertenece la ecuación de Laplace y que su solución analítica es generalmente difícil de 
encontrar.  
 

1.1‐ EDP elíptica 

 
Como ejemplo, nos ocuparemos de un tipo especial de ecuación elíptica llamado la 
ecuación de Helmholtz, que se escribe como:  
 
 
                         
(1.1.1) 
 

Sobre un dominio D = {(x,y) | x0 ≤ x ≤ xf ,  y0 ≤ y ≤ yf} con las condiciones de frontera  
 
             
                    
(1.1.2) 
                           
 
 
La ecuación (1.1.1) es llamada ecuación de Poisson si g(x,y) = 0  y es llamada ecuación 
de Laplace si g(x,y)= 0 y  f(x,y)= 0.  
 
Para resolver numéricamente esta ecuación, utilizaremos el método de las diferencias, 
que consiste en dividir el domino en Mx  secciones, de longitud  Δx = (xf    ‐  x0  )/Mx a lo 
largo del eje x, y en My secciones, cada sección de longitud  Δy = (yf   ‐ y0 )/My a lo largo 
del  eje  y,  respectivamente,  y  después  substituimos  los  segundas  derivadas  para  la 
aproximación de la diferencia central de tres ‐ puntos. 
 
 
(1.1.3a) 
                                                
                              
(1.1.3b)     
 
 así,  para  todo  punto  interior  (xj,  yi  )  con  1  ≤  i  ≤  My  −  1  y  1  ≤  j  ≤  Mx  −  1,  podemos 
obtener la ecuación diferencial finita. 
                              
       
      
(1.1.4) 
 
donde:   
 
Estas  ecuaciones    pueden  mostrarse  como  un  arreglo  de  un  sistema  de  ecuaciones simultaneas con respecto de (My − 1)(Mx − 1) variables {u1,1, u1,2, . . . , u1,Mx−1, u2,1, . . . , 
u2,Mx−1,  .  .  .  ,uMy−1,1,  uMy−1,2,  .  .  .  ,  uMy−1,Mx−1},  pero  trabajar  de  esta  manera  es  muy 
engorroso  y  puede  convertirse  realmente  en  un  problema  con  Mx  y  My    se  vuelven 
números  muy  grandes.  Una  manera  simple  es  el  uso  de  un  método  iterativo.  Para 
hacer esto, necesitamos primero escribir las ecuaciones y las condiciones de frontera de la siguiente forma: 
 
 
               (1.1.5a)  
 
                (1.1.5b) 
 
 
 
 

donde: 
 

                   
(1.1.6) 
 

 

¿Cómo  inicializamos  este  algoritmo?  Si  no  tenemos  ningún  conocimiento  a  priori 
sobre  la  solución,  es  razonable  tomar  el  valor  medio  de  los  valores  límites  como  los 
valores iniciales del ...