Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales

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Universidad Aut´noma de Madrid o Departamento de Matem´ticas a

Primer Curso de

Ecuaciones en Derivadas Parciales
Ireneo Peral Alonso

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DEDICATORIA

A mi mujer, Magdalena, y a mis hijas, Irene y Magdalena, simplemente, porque las quiero y ellas son lo m´s importante para m´ a ı.

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INDICE

Lista de s´ ımbolos Pr´logo o

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´ Cap´ ıtulo 1 : losejemplos clasicos de ecuaciones en ´ derivadas parciales de la f´ ısica matematica Introducci´n. o 15 §1.1 La divergencia. Una manera de medir variaciones. 17 §1.2 El teorema de la divergencia de Gauss. 24 §1.3 Ecuaciones de difusi´n:La ecuaci´n del calor. o o 33 §1.4 Ecuaciones estacionarias: Las ecuaciones de Laplace y de Poisson 38 §1.5 Ecuaci´n de la cuerda vibrante. o 40 o 42 §1.6 Ecuaciones deMaxwell. La ecuaci´n de ondas. §1.7 Ecuaciones de primer orden. Euler y las ecuaciones de la Mec´nica de Fluidos. 47 a §1.8 Otros modelos f´ ısicos. 51 Ejercicios del Cap´ ıtulo 1. 53 Cap´ ıtulo 2: ecuaciones en derivadas parciales de primer orden: el problema de cauchy Introducci´n. o §2.1 Ecuaciones quasi lineales de primer orden §2.2 Ecuaci´n general de primer orden. o §2.3 Clasificaci´n deecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. o §2.4 El teorema de Cauchy-Kovalevsky. Ap´ndice al Cap´ e ıtulo 2. Problema de Cauchy para la ecuaci´n general de primer orden en RN . o Ejercicios del Cap´ ıtulo 2.

55 57 70 84 94 102 106

Cap´ ıtulo 3: problema de sturm-liouville. series e integrales de fourier. ´ ´ metodo de separacion de variables. Introducci´n. o 113 §3.1 Problemas decontorno de segundo orden. Teorema de la alternativa. Funci´n de Green. o 118 §3.2 Problemas autoadjuntos: El problema de Sturm-Liouville. Autovalores. 132 §3.3 El problema de Dirichlet para la ecuaci´n de Laplace en el disco unidad de R2 . o Convergencia de series de Fourier. 153

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§3.4 Problemas mixtos para la ecuaci´n del calor en una dimensi´n espacial. o o §3.5 Problemas de contorno parala ecuaci´n de ondas: la cuerda vibrante. o §3.6 El problema de Dirichlet en el semiplano positivo. La transformaci´n de Fourier. o Ejercicios del Cap´ ıtulo 3. ´ Cap´ ıtulo 4: la ecuacion de ondas en dimensiones espaciales uno dos tres. el problema de Cauchy. Introducci´n. o §4.1 La ecuaci´n de ondas en dimensi´n uno. F´rmula de D’Alambert. o o o §4.2 La ecuaci´n de ondas en dimensi´n espacialtres. o o M´todo de las medias esf´ricas. e e o §4.3 El problema de Cauchy en dimensi´n espacial dos. M´todo de descenso de Hadamard. e §4.4 La ecuaci´n de ondas no homog´nea. o e §4.5 Energ´ y unicidad. Dependencia de la ecuaci´n de ondas de la dimensi´n. ıa o o Ejercicios del Cap´ ıtulo 4. ´ ıtulo 5: la ecuacion de laplace. el problema de dirichlet. Cap´ Introducci´n. o §5.1 Representaci´nintegral de funciones. Funci´n de Green. o o §5.2 El problema de Dirichlet en una bola de RN . §5.3 C´lculo de la funci´n de Green en dominios con simetr´ a o ıas §5.4 Propiedades de las funciones arm´nicas. o §5.5 El problema de Dirichlet en dominios generales. M´todo de Perron. e §5.6 La ecuaci´n de Poisson. o Ejercicios al Cap´ ıtulo 5. ´ Cap´ ıtulo 6: la ecuacion del calor. Introducci´n. o §6.1N´cleo de Gauss. Construcci´n de soluciones. u o §6.2 El principio del m´ximo. Resultados cl´sicos de unicidad. a a §6.3 El problema de Cauchy no homog´neo. e §6.4 Temperaturas positivas. Ejercicios del Cap´ ıtulo 6 Indice Alfab´tico e Bibliograf´ ıa

175 184 188 201 y 211 213 216 222 224 226 234

239 241 246 251 254 261 275 283

291 293 299 303 312 319 327 333

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LISTA DESIMBOLOS

R N´meros reales u RN Espacio eucl´ ıdeo N-dimensional R3 Espacio eucl´ ıdeo 3-dimensional R2 Espacio eucl´ ıdeo 2-dimensional R2 Semiplano con segunda coordenada positiva + RN +1 Semiespacio con la ultima coordenada positiva ´ + Q N´meros racionales u C N´meros complejos u N N´meros naturales u Z N´meros enteros u A × B Producto cartesiano de A y B. C ∞ Funciones indefinidamente...
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