Primer Libro De Euclides

Páginas: 46 (11288 palabras) Publicado: 24 de junio de 2012
PROPOSICIONES LIBRO I DE EUCLIDES

* PROPOSICIÓN 1:
Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada.

Sea AB la recta finita dada.
Así pues, hay que construir sobre la recta AB un triángulo equilátero.
Descríbase con el centro A y la distancia AB el círculo BA, y con el centro B y la distancia BA descríbase a su vez el círculo AB, y a partir del punto C donde los círculosse cortan entre sí, trácense las rectas CA, CB hasta los puntos A, B.
Y puesto que el punto A es el centro del círculo AB, AC es igual a AB; puesto que el punto B es a su vez el centro del círculo BA, BC es igual a BA; pero se ha demostrado que CA es igual a AB; por tanto, cada una de las rectas CA, CB es igual a AB. Ahora bien, las cosas iguales a una mismo cosa son también iguales entre sí: portanto, CA es también igual a CB: luego las tres CA, AB, CB son iguales entre sí.
Por consiguiente, el triángulo ABR es equilátero y ha sido construido sobre una recta finita dada AB. Que es a lo que se quería llegar.

* PROPOSICIÓN 2:
Poner en un punto dado como extremos una recta igual a una recta dada.

Sea A el punto dado y CB la recta dada.
Así pues. Hay que poner en el punto Auna recta igual a la recta dada BC.
Trácese, pues, desde el punto A hasta el punto B la recta AB, y constrúyase sobre ella el triángulo equilátero DAB, y sean BE, AF el resultado de prolongar en línea recta las rectas DA, DB; y con centro B y la distancia BC descríbase el círculo h, y a su vez con el centro D y la distancia DE, descríbase el círculo k.
Así pues, como el punto B es el centro delcírculo h, BC es igual a BE. Como a su vez el punto D es el centro del círculo k, DE es igual a DF, cuyas partes respectivas DA y DB son iguales. Luego la parte restante AF es igual a la parte restante BE. Pero se ha demostrado que también BC es igual a BE; por tanto, cada una de las rectas AF, BC es igual a BE. Y las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí; luego AF es también igual aBC.
Por consiguiente, en el punto dado A se ha puesto la recta AF igual a la recta dada BC.

* PROPOSICIÓN 3:
Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la menor.

Sean AB, CD las dos rectas desiguales dadas, sea AB la mayor de ellas.
Así pues, hay que quitar de la mayor, AB una recta igual a la menor, CD.
Colóquese sobre el punto A la recta AG igual a la recta CDy con el centro A y la distancia AG descríbase el círculo k, y como el punto A es el centro del círculo k, AH es igual a AG; pero también CD es igual a AG; luego cada una de las rectas AH, CD es igual a AG, de modo también que AH es igual a CD.
Por consiguiente, dadas dos rectas desiguales: AB, CD, se han quitado de la mayor, AB, la recta AH igual a la menor CD. QED

* PROPOSICIÓN 4:
Sidos triángulos tienen dos lados del uno iguales a dos lados del otro y tienen iguales los dos ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también las respectivas bases iguales, y un triángulo sería igual al otro, y los ángulos restantes, a saber: los subtendidos por lados iguales, sería también iguales respectivamente.

Sean ABC, DMI, dos triángulos que tienen los dos lados AB, AC igualesa DM, DI, respectivamente, es decir, AB a DM, y AC a DI, y el ángulo BAC igual al triángulo MDI.
Digo que también la base BC es igual a la base MI y que el triángulo ABC será igual al triángulo DMI y los ángulos restantes, subtendidos por los lados iguales, serán también iguales respectivamente, es decir, el ángulo ABC igual al ángulo DMI, y el ángulo ACB igual al ángulo DIM.
Pues si se aplicael triángulo ABC al triángulo DMI y el punto A se coloca sobre el punto D y la recta AB sobre la recta DM, coincidirá también el punto B sobre el punto M por ser igual AB a DM; al coincidir también AB con DM, la recta AC coincidirá también DI por ser igual que el ángulo BAC al MDI : de modo que también el punto C coincidirá con el punto I por ser igual a su vez AC a DI. Pero también el punto B...
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