Probabilidad condicionada

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PROBABILIDAD CONDICIONADA
es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B.
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tenerrelación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.
Definición
Dado un espacio de probabilidad  y dos eventos (o sucesos)  con P(B) > 0, la probabilidadcondicional de A dado B está definida como:

Interpretación
 se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza,  sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.
Gráficamente, si se interpreta el espacio de lailustración como el espacio de todos los mundos posibles, A serían los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona verde de la intersección representaría los mundos en los que se tiene gripe y dolor de cabeza . En este caso , es decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe, sería la proporción de mundos con gripe y dolorde cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El área verde dividida por el área de B. Como el área verde representa  y el área de B representa a P(B), formalmente se tiene que:

Propiedades
1.
2.

Pero NO es cierto que 
Independencia de Sucesos
Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:

O sea que si A y B son independientes, su probabilidadconjunta,  ó P(A,B).
puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:

En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.
Exclusividad Mutua
Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo si . Entonces, .
Además, si P(B) > 0 entonces  es igual a 0.
La Falacia dela Probabilidad condicional
La falacia de la probabilidad condicional se basa en asumir que P(A|B) es casi igual a P(B|A). El matemático John Allen Paulos analiza en su libro El hombre anuméricoeste error muy común cometido por doctores, abogados y otras personas que desconocen la probabilidad.
La verdadera relación entre P(A|B) y P(B|A) es la siguiente:
 (Teorema de Bayes)

TEOREMA DE LAPROBABILIDAD TOTAL
El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:
Sea A1,A2,...,An una partición sobre el espacio muestral y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai), entonces la probabilidaddel suceso B viene dada por la expresión:

Demostración:
Por hipótesis tenemos una partición  del espacio muestral Ω. Por lo tanto el suceso B sepuede escribir como

Ahora bien, los conjuntos  son dos a dos disjuntos, ya que en caso contrario los Ai tampoco lo serían. En consecuencia

Por último, se sabe que  para cualesquiera sucesos C y D. Luego

que era lo que se quería demostrar.
TEOREMA DE BAYES
En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 1763 1 que expresa la probabilidadcondicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un...
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