Probabilidad Condicional e Independencia



Probabilidad condicional e independencia






Definición


si a y b son dos eventos, se define la probabilidad de a dado b como la probabilidad de que ocurra el evento a cuando el evento b ya ocurrió o se tiene la certeza de que ocurrirá, y se calcula como

p ( a ⏐b ) =
p ( a ∩ b ) p ( b )

; p ( b ) ≠ 0



De la misma manera, se define la probabilidad de b dado acomo la probabilidad de que ocurra el evento b cuando el evento a y ocurrió o se tiene la certeza que de ocurrirá. esta probabilidad se calcula como

p ( b ⏐a ) =
p ( a ∩ b ) p ( a )

; p (a) ≠ 0






Teorema 4.1.1 ( regla de la multiplicación )


si a y b son dos eventos, entonces

p ( a ∩ b ) = p ( b ) p ( a ⏐b ) y también
p ( a ∩ b ) = p ( a ) p ( b ⏐a )Ejemplo 1


en una familia con dos hijos, se desea calcular las siguientes probabilidades:


a) la probabilidad de que los dos hijos sean varones.
b) la probabilidad de que si uno de los hijos es varón, los dos lo sean.



Resolución:


Para poder resolver el problema es necesario empezar por definir algunos eventos.


Sean a: el evento de que los dos hijos seanvarones, y
b: el evento de que al menos uno de los hijos sea varón. a) si observamos en el espacio muestral
s = { (h, h), (h, m), (m, h), (m, m) }


Y consideramos que todos los eventos simples son igualmente probables, es claro que


p ( a ) = 1 / 4 = 0.25 y p ( b ) = 3 / 4 = 0.75



b) se desea calcular p ( a ⏐b ).


Utilizando la definición de probabilidadcondicional se obtiene
p ( a ∩ b )
= 1/4 = 1
p ( a ⏐b ) =

p ( b )

3/4 3

p ( a ⏐b ) = 1 / 3


Pero ¿qué pasa al imponer una condición?


En este mismo ejemplo consideremos la condición impuesta de que al menos uno de los hijos es varón, entonces, el evento ( m, m ) no es factible, con lo cual, el espacio muestral se modifica, es más, se reduce al conjunto


s b = { (h, h),(h, m), (m, h) }



Si calculamos ahora la p (a) a partir de este espacio muestral reducido, se puede observar con toda claridad que p (a) = 1/3.


¡Exactamente lo que habíamos calculado usando la definición!





Ejemplo 2


se lanzan dos dados balanceados y se definen los eventos


a: el resultado del lanzamiento del primer dado es par. b: el resultado del lanzamiento delsegundo dado es 4. c: el resultado del lanzamiento del primer dado es 3.


Calcular

a) p ( a ⏐b ) f) p ( b ) b) p ( b ⏐c ) g) p ( c ) c) p ( a ⏐c )
d) p ( c ⏐a )


e) p ( a )


Definición


Dos eventos a y b son independientes si la probabilidad de a dado b es igual a la probabilidad de a, y también la probabilidadde b dado a es igual a la probabilidad de b, es decir, si la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no modifica en nada la probabilidad de ocurrencia de otro. esto es, a y b son independientes si

p ( a ⏐b ) = p ( a )


y también

p ( b ⏐a ) = p ( b )








Teorema


Dos eventos a y b son eventos independientes sí y sólo sí

p(a ∩ b) = p(a) p(b)





Teorema(fórmula de probabilidad total)


Sean los eventos b1 , b2 , ... , bn una partición colectivamente exhaustiva del espacio muestral s, y sea a otro evento, entonces,

p (a) = p[ (a ∩ b1) ∪ (a ∩ b2) ∪ ... ∪ (a ∩ bn) ]
n
= ∑ p( a ∩ b )
i = 1 i


Pero sabemos que p(a ∩ bi) = p(bi) p(a ⏐bi), de donde se obtiene el siguiente resultado.





Teorema (teorema de bayes)Sean los eventos b1 , b2 , ... , bn una partición colectivamente exhaustiva del espacio muestra s, y sea a otro evento, entonces,


p(bi⏐a) =
p(bi )p(a⏐bi )
n
∑ p(bk )p(a⏐bk )
k = 1


Ejemplo 3


Una fábrica de artículos eléctricos recibe un cierto tipo de partes de tres proveedores conocidos como a, b, c. de acuerdo con las pruebas de calidad que efectúa la...