Probabilidad condicional

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Probabilidad condicional.
Con reposición y sin reposición. Simples o marginales, conjuntas. Regla de la independencia.
Problema n° 4) Una ciudad X es afectada por 2 tipos de contaminación: aire y agua, mientras que la ciudad Y sólo presenta contaminación del aire. Se ha puesto en marcha un plan para controlar estas fuentes de contaminación.
Se estima que la probabilidad de que lacontaminación del aire sea controlada exitosamente en la ciudad X es el cuádruple de dicha probabilidad en la ciudad Y, y que si la contaminación del aire es controlada en la ciudad Y, la contaminación del aire en la ciudad X será controlada con un 90% de probabilidad. El control de la contaminación del agua en la ciudad X es independiente del control de la contaminación del aire en ambas ciudades. En laciudad X, la probabilidad de que la contaminación sea controlada totalmente (es decir, ambas fuentes) es de 0,32. Controlar la contaminación del agua en la ciudad X es sólo la mitad de probable que hacerlo con la contaminación del aire en esa misma ciudad. Determinar:
a) La probabilidad de que la contaminación del aire sea controlada en ambas ciudades.
b) La probabilidad de que la contaminación (ensus dos formas, en ambas ciudades) sea completamente controlada.
c) La probabilidad de que por lo menos una ciudad se encuentre libre de toda fuente de de contaminación.
Respuesta:
a) 0,18
b) 0,072
c) 0,448
Problema n° 5) Se lanzan 2 dados en perfectas condiciones de azar 15 veces, y en todas se obtiene un puntaje total de 9. Se lanzan por 16° vez: ¿Cuál es la probabilidad de obtener unpuntaje total de 6?
Respuesta: 5/36
Problema n° 6) Si la probabilidad de hacer blanco, disparando una vez en una polígono de tiro, es de 0,4 para el hombre y de 0,5 para la mujer, hallar la probabilidad de que tras un disparo de cada uno (independientes entre sí) se obtenga:
a) un blanco exactamente.
b) al menos un blanco.
c) dos aciertos.
d) dos errores.
Respuesta:
a) 0,5
b) 0,7
c) 0,2
d)0,3
Problema n° 7) Sean tres tiradores A, B y C, con probabilidades de acertar un tiro al blanco de 0,3, 0,4 y 0,6 respectivamente. Si los tres efectúan un solo disparo simultáneamente, calcular:
a) La probabilidad de tener en total un solo acierto.
b) La probabilidad de tener en total un solo acierto, sabiendo que hubo uno.
Respuesta:
a) 0,436
b) 0,524

Altube y Vitoria son dos estacionesmetereológicas. Representaremos por A y V el que llueva respectivamente en Altube y Vitoria durante cualquier periodo de 24 horas en el mes de Junio; se observa que P(A) = P(V) = 0, 40 y que P(AV) = 0, 28. Determínense las dos probabilidades condicionales P(A/V) y P(V/A), así como la probabilidad total P(AV). ¿Son independientes A y V? 

RESPUESTA 1.

Para obtener las probabilidadescondicionadas aplicamos la expresión 
P(AB) = P(A) • P(B/A) = P(B) • P(A/B )
que en nuestro caso será 

Para obtener la probabilidad total consideramos 
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
con lo que resultará 
P(AV) = P(A) + P(V) – P(AV)= 0, 40 + 0, 40 - 0, 28 = 0, 52
Se dice que dos sucesos son independientes si su probabilidad compuesta es igual al producto de sus probabilidades incondicionalesrespectivas. La definición formal de independencia de dos sucesos es que se cumpla 
P(B/A) = P(B) ; P(A/B) = P(A)
Por consiguiente, teniendo en cuenta que la ley general de probabilidad compuesta se expresa : 
P(ABC•••MN) =
P(A)•P(B/A)•P(C/AB) ••• P(N/ABC•••M)
podemos ver que en el caso de sucesos independientes la probabilidad compuesta toma la forma simétrica 
P(AB) = P(A)•P(B).
En nuestro casoresulta fácil comprobar que los dos sucesos no son independientes ya que se tiene : 
P(A/V)  P(A) ; P(V/A) P(V)  P(AV)P(A)•P(V)

Dados P(A) = a , P(B) = b y P(AB) = a.b, demuéstrese que 

se factorizan en la forma indicada por la definición general de independencia, es decir como producto de las probabilidades de los componentes de la combinación. 

RESPUESTA 2.

Uno de los axiomas...
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