probabilidad estadistica

 DISTRIBUCION GEOMETRICA
La distribución geométrica es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito o resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera también implica la existencia de una dicotomía de posibles resultados y la independencia de laspruebas entre sí.
La distribución Geométrica también está relacionada con una secuencia de ensayos de Bernoulli, excepto que el número de ensayos no es fijo. En consecuencia, la distribución geométrica hereda las características de la distribución binomial, a excepción del concepto del cual se quiere calcular la probabilidad. En este caso la variable aleatoria de interés, denotada mediante X, sedefine como el número de ensayos requeridos para lograr el primer éxito. Es obvio que para obtener el primer éxito se debe realizar el experimento cuando menos una vez, por lo que los valores que puede tomar la variable aleatoria X son 1, 2, 3...  n, esto es, no puede tomar el valor cero. En este caso se cumple que (X = x) si y sólo si los primeros (x – 1) ensayos son fracasos (q) y el x ensayo eséxito (p), por lo que:
a) ) P(X = x) = b)

Ejemplos de Distribución Geométrica:
1.- Se lanza un dado hasta que aparece el número 6. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de lanzamientos sean 3? Solución:
 En este problema el éxito es la aparición del número 6 y la probabilidad de que salga el número 6 al lanzar un dado es 1/6, por lo que p = 1/6 y = 5/6. Como nos interesa calcular la probabilidad de que el 6 aparezca en el tercer lanzamiento, entonces:
 
P(X = 3) = ()3-1 () = ()2 () = 0.1157
2.-  Se tienen 4 llaves de las cuales sólo una abre un candado. Se prueban las llaves una trasotra, con reemplazo, hasta encontrar la que abre el candado. Calcular la probabilidad de que el candado se abra después del segundo intento.
Solución:

 Si seleccionamos una llave al azar, la probabilidad de que éste abra el candado es ¼ y como el éxito es que se abra el candado, entonces p = ¼ = 0.25 y q = 0.75. Deseamos encontrar P(X>2).
 
Sabemos que  P(X>2) = 1 – P(X2) y que:
 
P(X2) =P(X = 1) + P(X = 2) = [(0.75) 1-1 (0.25) + (0.75)2-1(0.25)] =  0.4375
 
Por lo tanto:
 
P(X>2) = 1 – 0.4375 = 0.5625

3.- La probabilidad de que cierto análisis clínico dé una reacción positiva es 0.4. Los resultados de los análisis son independientes unos de otros ¿Cuál es la probabilidad de que la primera reacción positiva ocurra antes del tercer análisis? 
Solución:
 Aquí el éxito es quesalga una reacción positiva, por lo que p = 0.4 y q= 0.6. Si la primera reacción positiva debe aparecer antes del tercer análisis, entonces:
 
P(X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2) = (0.6) 1-1 (0.4) + (0.6)2-1 (0.4) = 0.64







DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
La distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios ysin reemplazo. Hemos analizado distribuciones que mostraban situaciones en las que se realizaban pruebas que entrañaban una dicotomía de manera que en cada experiencia la probabilidad de obtener cada uno de los dos posibles resultados se mantenía constante. Si el proceso consistía en una serie de extracciones o selecciones ello implicaba la reposición de cada extracción o selección, o bien laconsideración de una población muy grande. Sin embargo si la población es pequeña y las extracciones no se remplazan las probabilidades no se mantendrán constantes, en ese caso las distribuciones anteriores no nos servirán para mostrar la situación de la prueba de éxito. La distribución hipergeométrica viene a cubrir esta necesidad de modelizar procesos con probabilidades no constantes (sin...