Probabilidad Y Estadistica Dispersion

ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión tienen por objetivo, obtener un valor que resuma la variabilidad de la distribución de los datos respecto al valor central. Las medidas de Dispersión solo tiene sentido en Variables Cuantitativas.

1.- Rango o Recorrido
Definición: Corresponde a la diferencia entre el máximo valor observado en los datos y el mínimo valor.

Ejemplo: :La resistencia del papel utilizado en la fabricación de cajas de cartulina

(Y) está relacionado con la concentración de madera dura en la pulpa original (X). Bajo condiciones controladas, una planta piloto fabrica 10 muestras con un lote diferente de pulpa y mide la resistencia a la tensión. Los datos obtenidos son los siguientes: M X 1 1 2 1.5 3 1.5 4 1.5 5 2 6 2 7 2.2 8 2.4 9 10 2.5 2.5

Y101.4 117.4 117.1 106.2 131.9 146.9 146.8 133.9 111 123 Calcule el rango de la resistencia del papel utilizado en la fabricación de las cajas de cartulina. Solución: Paso1: Los datos Y 101.4 117.4 117.1 106.2 131.9 146.9 146.8 133.9 111 123 Paso2: Rango(y)= 146.9-101.4=45.5

2.- Recorrido Intercuartilico
Definición: Corresponde a la diferencia entre tercer y primer cuartil de la distribución delos datos. Este valor Congrega el 50% de los valores centrales.

Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a un estudio del consumo anual(X) de parafina en familias con residencia (W) urbano o rural, considerando además el ingreso familiar mensual(Y) en M$, obteniendo la siguiente distribución de frecuencia. Consumo de Parafina lt 0 – 30 30 – 90 90 - 150 150 – 250 250 y más Totales Se pidedeterminar la amplitud intercuartilica del consumo de parafina al año. Solución: Paso1: Debemos Calcular el y para la distribución marginal del consumo de parafina, en esta etapa conviene construir una nueva tabla. Consumo de Parafina lt 0 – 30 30 – 90 90 - 150 150 – 250 250 y más Totales fi 0.28 0.37 0.20 0.12 0.03 1 Fi 0.28 0.65 0.85 0.97 1 100 – 150 R 0.05 0.02 0.01 0 0 U 0.1 0.05 0.02 0.01 0 R0.05 0.10 0.03 0.02 0 Ingresos mensuales M$ 150 - 250 U 0.08 0.06 0.02 0.01 0 250 – 350 R 0 0.10 0.04 0.02 0 U 0 0.04 0.05 0.04 0.02 350 - 500 R 0 0 0.02 0.01 0 U 0 0 0.01 0.01 0

Paso 2: Cálculo

Paso 3:

3.- Varianza (V  S )
2

Definición: i) Datos sin Tabular: muestra de Sea una variable cuantitativa, y una valores de , la Varianza es el promedio del cuadrado de las

distancias entrecada observación y la media aritmética del conjunto de observaciones. Su expresión algebraica es:
n

S 2 (X )  i 1

 (xi  x )2
n 1
una

ii) Datos Tabulados:

Si se dispone de una tabla de datos asociada a

distribución de frecuencias, entonces la varianza se calcula de la siguiente forma:

Donde = Número de categorías o niveles de la variable = Frecuencia absoluta = Marca declase da cada categoría = promedio de los datos = Total de datos

Observaciones:
i) En el caso extremo en que todas las observaciones fueran iguales, la media coincidiría con ese valor común y la varianza sería cero. ii) En general, cuanto más dispersas sean las observaciones, mayores serán las diferencias dentro de los cuadrados y por tanto mayor será el valor de s 2, es decir la distribuciónde los datos será heterogénea. iii) La varianza es el momento de orden 2 respecto a la media: s2 = m2.

Propiedades:
 

La varianza es siempre positiva, Otra forma más sencilla de calcular la varianza es:

En función de los momentos la formula anterior se puede expresar como:

 

La varianza de una constante es cero Si a todos los valores de la variable les sumamos una constante k,la varianza de esa variable no cambia.. Si entonces con ,



Si a todos los valores de una variable los multiplicamos por una constante k, la varianza queda multiplicada por el cuadrado del valor de esa constante. Si con , entonces

4.- Desviación Estándar (S )
2

La varianza de una variable está dada por las unidades de medida al cuadrado, para evitar problemas con su interpretación,...