Probabilidad y estadistica

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LÁZARO CÁRDENAS
CALCULO INTEGRAL
UNIDAD
“SERIES Y SUCECIONES”
ING. INDUSTRIAL
E4
SEGUNDO SEMESTRE
INTEGRANTES:
Carlos Antonio Pineda Colon


Índice.
SUCESIONES 3
Dominio general de una Sucesión. 3
Definición del Límite de una Sucesión. 3
Límite de una Sucesión: 4
Propiedades de los Límites de las sucesiones: 4
Determinando la Convergencia oDivergencia de una sucesión: 4
Sucesiones Monótonas: 5
Sucesiones Acotadas: 6
SERIES. 7
Tipos de series: 7
Definición de Series infinitas: 7
Propiedades de las Series Infinitas: 8
Supresión de los N primeros términos de una serie: 8
Criterio del término n-ésimo para la divergencia: 9
Usando el criterio del n-ésimo término: 9
Definición de serie geométrica: 9

SUCESIONES
En el campo de lasmatemáticas una sucesión es definida como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Aunque esta sea una función, usualmente es representada con una notación de subíndices en vez de una notación funcional.
Es un conjunto de términos formados por  una ley o regla determinada. Es conjunto es una función cuyo dominio son los números enteros positivos (Z+).
Para simbolizar un términogeneral se utiliza la letra a ó s, y las variables con la letra minúscula n.
 
Ejemplos:

Dominio general de una Sucesión.
Viene dado por el siguiente método:
1) Para la sucesión {an}= {3+(-1)n}, los cuatro términos primeros son:
3 + (-1)1, 3 + (-1)2 , 3 + (-1)3, 3 + (-1)4, ....... R= 2, 4, 2, 4, ......
2) Para la sucesión {bn}= {2n/(1 + n), los cuatro términos primeros son:
2*1 /(1 +1), 2*2 /(1 + 2), 2.3/(1 + 3), 2*4 /(1 + 4),.....R= 2/2, 2/3, 6/4, 8/5,.....

Definición del Límite de una Sucesión.
Se define de la siguiente manera; Si para ð > 0 existe M >0 tal que [an - L] < ð siempre que n > M, entonces decimos que el límite de la sucesión {an} es L y escribimos:
Limn-ðð an= L
Las sucesiones que tienen límite (finito) se llaman convergentes  y lasdemás divergentes.

Límite de una Sucesión:
Sea f función de una variable real tal que :
Límx-oo f (x) = L
Si {an}es una sucesión tal que f (n) = an para todo entero positivo n, entonces :
Límn-oo an = L

Propiedades de los Límites de las sucesiones:
Si: Límn-oo an= L y Límn-oo bn = K
Las siguientes propiedades son válidas:
1) Límn-oo(an+- bn) = L +- K 2) Lím n-oo can = cL, c es cualquier númeroreal.
3) Límn-oo (an bn) = LK 4) Límn-oo an/bn = L/K, solo si bn es diferente de 0

Determinando la Convergencia o Divergencia de una sucesión:
Determinar la convergencia en las siguientes sucesiones:
1) an = 3 + (-1)n 2) bn = n / 1-2n
1) an = 3 + (-1)n solución: como an = 3 + (-1)n tiene términos 2, 4, 2, 4,..... que oscilan entre 2 y 4 , no hay límite y la sucesión diverge.
2) Para {bn},podemos dividir por n numerador el denominador para obtener:
Límn-oo n /(1- 2n) = Límn-oo [1/(1/oo) - 2] = -1/2 ,por lo tanto la sucesión converge a -1/2.

Sucesiones Monótonas:
Una sucesión es monótona si sus términos son no decrecientes:
1, 2, 3, 4, 5, 6, ........
o si sus términos son no crecientes:
1, 4, 3, 8, 5, ...........
Determinando si una sucesión es monótona, se toman las siguientessucesiones como ejemplos:
* {an}= {3+(-1)n} Esta sucesión alterna entre 2, y 4 por lo tanto no es monótona.
* {bn}= {2n/(1 + n) Monótona , porque cada término es mayor que su predecesor.
Ejemplo.

Identificar si las siguientes secuencias son crecientes, decrecientes o no monótonas.

Tenemos que:

Luego:

Observando a los elementos de la sucesión, creemos que crece, así que:La inecuación corrobora el crecimiento de la sucesión, por lo tanto la sucesión es creciente (Monótona).

Sucesiones Acotadas:
Una sucesión {an} es acotada si existe un número real positivo M tal que [an] sea menor o igual que M para todo n.
Llamamos a M una cota superior de la sucesión por ejemplo las tres sucesiones siguientes son acotadas debido a:
[3+(-1)n] es <o = a 4, [2n /...
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