Probabilidad y Estadistica

Tema 2.0
Conceptos previos

Preparado por Irene Patricia Valdez y Alfaro
Septiembre 2006

FACULTAD DE INGENIERÍA
UNAM

PROBABILIDAD
Y
ESTADÍSTICA
Irene Patricia Valdez y Alfaro

irenev@servidor.unam.mx

FUNDAMENTOS DE LA
TEORÍA DE LA
PROBABILIDAD
CONCEPTOS PREVIOS:
REPASO DE CONJUNTOS

1

Preparado por Irene Patricia Valdez y Alfaro
Septiembre 2006

Tema 2.0
Conceptosprevios

NOTACIONES DE CONJUNTOS Y DIAGRAMAS DE VENN

Conjunto universal: U
Conjunto vacío: Ø
Subconjunto: A ⊂ B
Unión de conjuntos: A ∪ B
Intersección de conjuntos: A ∩ B
Complemento del conjunto A
respecto de U:
A o bien: A’

ALGUNAS LEYES DE CONJUNTOS

Para cualquier conjunto A: Ø ⊂ A
Para
Para un conjunto U, A ⊂ U si todos los
Para
elementos de A pertenecen a U
A = B sii ysolo si A ⊂ B y B ⊂ A
s
Para cualquier conjunto A: A ⊂ A
Para
Sii A ⊂ B y B ⊂ C, entonces: A ⊂ C
S

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Conceptos previos

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Septiembre 2006

ALGUNAS LEYES DE CONJUNTOS

Leyes de identidad:

A∪Ø=A
A∩Ø=Ø

A∪U=U
A∩U=A

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

Leyes de Morgan:

(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
A ∪ ( B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

Leyesasociativas:

A ∩ ( B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Leyes distributivas:

A ∪ ( B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ ( B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

PRODUCTO CARTESIANO
Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano se define como:
como:
A X B = { (x,y) | x ∈ A , y ∈ B }
Ejemplo:

A = { x | x ≤ 3, x ∈ N }
B = { y | y es una vocal }

A X B = { (1,a), (1,e), (1,i), (1,o), (1,u) ,
(2,a), (2,e), (2,i),(2,o), (2,u),
(3,a), (3,e), (3,i), (3,o), (3,u) }
B X A = { (a,1), (a,2), (a,3),
(e,1), (e,2), (e,3),
(i,1), (i,2), (i,3),
(o,1), (o,2), (o,3),
(u,1), (u,2), (u,3), }

3

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Conceptos previos

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FUNDAMENTOS DE LA
TEORÍA DE LA
PROBABILIDAD
CONCEPTOS PREVIOS:
TÉCNICAS DE CONTEO

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO1/2

Para un experimento que consta de k eventos sucesivos
donde:
el primer evento puede resultar de m1 maneras distintas,
el segundo evento puede resultar de m2 maneras distintas
.
.
.
El k-ésimo evento puede resultar de mk maneras distintas.
k-

El número total de resultados para el experimento completo está
dado por:

m1 • m2 • ... • mk

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Conceptos previosPreparado por Irene Patricia Valdez y Alfaro
Septiembre 2006

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO

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Ejemplo 1:
En un sorteo cada participante debe elegir en orden cuatro imágenes de
imágenes
entre 25. Durante el sorteo se descubren una por una cuatro imágenes
imágenes
imágenes (sin repetición) y ganan quienes acierten a las cuatro en el mismo
orden en que salieron. ¿cuántos posiblesresultados puede tener el sorteo?

No. de resultados = (25) (24) (23) (22) = 303,600
Ejemplo 2:
En un sorteo cada participante debe elegir cuatro números del 1 al 25.
Durante el sorteo se seleccionan cuatro números con repetición y ganan
quienes acierten a los cuatro números en el mismo orden en que salgan.
salgan.
¿cuántos posibles resultados puede tener el sorteo?
No. de resultados =(25) (25) (25) (25) = 254 = 390,625
Nótese que en este caso, si n es el número total de elementos diferentes disponibles
y r es el número de objetos que se seleccionarán con repetición, entonces el número
entonces
total de resultados posibles es: nr.

1/4

PERMUTACIONES
Permutaciones simples:
Si se tiene un conjunto de n objetos diferentes, las
permutaciones son subconjuntos de r objetos,en donde una
permutación es distinta de otra si difiere en al menos un
elemento o en el orden de estos. Condición: r < n.
Condición:
elemento
Para escoger el 1er. elemento hay n formas distintas.
Para escoger el 2do. elemento hay (n-1) formas distintas.
Para escoger el 3er. elemento hay (n-2) formas distintas.
...
Para escoger el r-ésimo. elemento hay [ n - ( r-1 ) ] formas distintas,...