Probabilidad y estadisticas

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1. ÁLGEBRA DE BOOLE. El álgebra de Boole se llama así debido a George Boole, quien la desarrolló a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole denominada también álgebra de la lógica, permite prescindir de la intuición y simplificar deductivamente afirmaciones lógicas que son todavía más complejos. El objetivo principal de este tema es llegar a manejar los postulados y teoremas del álgebra deBoole como herramienta básica en el análisis y síntesis de circuitos digitales. Si lo desea, elija alguna opción haciendo clic sobre ella. 1.1 Definiciones 1.3 Teoremas Fundamentales 1.5 Funciones de Conmutación 1.7 Formas de Expresión de una función de Conmutación 1.1 DEFINICIONES 1. Se establecen los conceptos fundamentales (símbolos o términos no definidos). 2. Se define un conjunto de postuladosque forman la base del álgebra. 3. Se constituyen los teoremas fundamentales del álgebra a partir de los postulados. A su vez, las exigencias y condiciones que deben reunir los postulados son: 1. Los postulados deben ser coherentes o consistentes para que una álgebra definida pueda desarrollarse por deducciones lógicas. En caso contrario, el sistema resulta contradictorio. 2. Los postulados debenser independientes; es decir irreductibles recíprocamente (libre de reducciones) 3. Los postulados deben ser tan simples en su enunciado como sea posible; es decir, no separables en dos o más partes. 1.2 POSTULADOS. P.1. Existe un conjunto M de elementos sujetos a una relación de equivalencia denotada por el signo = que satisfacen el principio se sustitución. P.2.a. Para toda (A, B) en M, A + B esuna operación binaria (suma lógica) denotada por el signo +, tal que: (A + B) está en M Es decir, el conjunto M es cerrado a esta operación. P.2.b. Para toda (A, B) en M, A . B es una operación binaria (producto lógico) denotada por el signo ., tal que: (A . B) está en M 1 1.2 Postulados 1.4 Compuertas Lógicas 1.6 Formas normales 1.8 Niveles de Conmutación 1.9 Ejercicios

Es decir, el conjuntoM es cerrado a esta operación. P.3.a. Existe un elemento 0 en M, tal que: A+0=A para toda A en M. P.3.b. Existe un elemento 1 en M, tal que: A.1=A para toda A en M. P.4.a. Para toda (A, B) en M: A+B=B+A Se satisface la propiedad conmutativa P.4.b. Para toda (A, B) en M: A.B=B.A Se satisface la propiedad conmutativa P.5.a. Para toda (A, B, C) en M: A + (B . C) = (A + B) . (A + C) Ley distributivade la suma sobre el producto P.5.b. Para toda (A, B, C) en M: A . (B + C) = (A . B) + (A . C) Ley distributiva del producto sobre la suma P.6.a. Para todo elemento A en M, existe un elemento A', tal que: A + A' = 1 P.6.b. Para todo elemento A en M, existe un elemento A', tal que: A . A' = 0 P.7. Existen por lo menos (A, B) en M, tal que: A es diferente de B Se habrá observado cierta similitudentre estos postulados y los del álgebra ordinaria. Nótese sin embargo, que la primera ley distributiva P.5.a. no es válida en el álgebra ordinaria y que tampoco existe ningún 2

elemento A' en dicha álgebra. También se notará que los postulados se presentaron por pares. Una observación más detenida, muestra que existe una dualidad entre los símbolos + y ., lo mismo que entre los dígitos 1 y 0. Siel símbolo + se sustituye por . y . por +, así como todos los UNOS se sustituyen por CEROS y los CEROS por UNOS, en cualquiera de los postulados de cada par, el resultado es el otro postulado. A causa de esta dualidad fundamental, cada teorema que se presenta tendrá su dual que se obtendrá efectuando la sustitución mencionada; por tanto, la demostración de un teorema implica la validez de suteorema dual. 1.3 TEOREMAS FUNDAMENTALES. A continuación se presentan los teoremas principales del álgebra de Boole, los cuales son la base del trabajo subsecuente. Es posible demostrar dichos teoremas por cualesquiera de los siguientes métodos: 1. Algebraicamente (empleando postulados y teoremas ya demostrados). 2. Gráficamente (por medio de los diagramas de Venn). 3. Por inducción perfecta...
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