Probabilidad


La probabilidad es una medición numérica que va de 0 a 1 de la posibilidad de que un evento ocurra. Si da cerca de 0 es improbable que ocurra el evento y si da cerca de uno es casi seguro que ocurra.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesospotenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

P (a): nº de resultados en que ocurra a
Nº de resultados posibles

Tipos de sucesos:

Exhaustivo: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.
Simbólicamente: p (A o B o...) = 1
No exhaustivos: se dice que dos o más sucesos son exhaustivos si no cubren todos los posibles resultados.Mutuamente excluyentes: sucesos que no pueden ocurrir en forma simultánea:
P(A y B) = 0 y p(A o B) = p(A) + p (B)
Ejemplo: hombres, mujeres

No mutuamente excluyentes: sucesos que pueden ocurrir en forma simultánea:
P (A o B) = p (A) + p (B) – p (A y B)
Ejemplo: hombres, ojos cafés




Independientes: Sucesos cuya probabilidad no se ve afectada por la ocurrencia o no ocurrencia del otro:
P ( AI B ) = P ( A ); P ( BIA ) = P (B) Y P (A Y B) = P(A) P(B)
Ejemplo: sexo y color de ojos
Dependientes: sucesos cuya probabilidad cambia dependiendo de la ocurrencia o no ocurrencia del otro:
P ( AI B ) difiere de p (A); P ( BIA ) difiere de P(B);
Y P (A Y B)= P ( A ) P ( BIA )= P (B) P ( AI B )
Ejemplo: raza y color de ojos

Distribución maestral

El diagrama de árbol es muy útilpara visualizar las probabilidades condicional y conjunta y en particular para el análisis de decisiones administrativas que involucran varias etapas.

Ejemplo: Una bolsa contiene 7 fichas rojas (R) y 5 azules (B), se escogen 2 fichas, una después de la otra sin reemplazo. Construya el diagrama de árbol con esta información.








Variable Aleatoria

Dado un espacio deprobabilidad  y un espacio medible (S,Σ), una aplicación  es una variable aleatoria si es una aplicación -medible.
En la mayoría de los casos se toma como espacio medible de llegada el formado por los números reales junto con la σ-álgebra de Borel (el generado por la topología usual de ), quedando pues la definición de esta manera:
Dado un espacio de probabilidad  una variable aleatoria real escualquier función  medible donde  es la σ-algebra boreliana.

Variable Aleatoria Discreta: Una variable aleatoria discreta X es una función que asigna valores numéricos a los sucesos elementales de un espacio muestral.

Ejemplo :

Lanzamos dos monedas y definimos la variable aleatoria X, número de caras obtenidas.
Siendo C obtener cara y X obtener cruz, como el espacio muestral es
Ω = {CC, CX, XC, XX}entonces se tiene.

X : Ω −→ R
CC ,→ 2
CX ,→ 1
XC ,→ 1
XX ,→ 0







Función de distribución: Es la aplicación FX(xi) que asigna a cada valor xi de la variable aleatoria discreta X la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que xi

FX(xi) = P (X ≤ xi)

Ejemplo: La función de probabilidad de la variable aleatoria X viene dada por la tabla.

xi 0 1 2 3px(xi) 0.1 0.2 0.4 0.3

Hallar la función de distribución de X.
Solución: De la definición se tiene

FX(0) = P (X ≤ 0) = px(0) = 0.1
FX(1) = P (X ≤ 1) = px(0) + px(1) = 0.3
FX(2) = P (X ≤ 2) = px(0) + px(1) + px(2) = 0.7
FX(3) = P (X ≤ 1) = px(0) + px(1) + px(2) + px(3) = 1

xi 0 1 2 3
Fx(xi) 0.1 0.3 0.7 1























Media o esperanza de una variablealeatoria: Se llama media o esperanza de una variable aleatoria X y se representa por µ al valor.

µ = x1· p(x1) + x2 · p(x2) + … xn · p(xn) =


Ejemplo: Lanzamos dos monedas. Si salen dos caras recibimos 3 euros, si sale una cara recibimos 1 euro y si no sale ninguna cara pagamos 5
Euros. ¿Cuál es la ganancia media del juego?

Solución: Hallamos la función de probabilidad de la...