Probabilidad

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Libro Estadistica Elemental lo esencial 2ª. Edición de Robert Johnson y Patricia Kuby Editorial Thomson.
Pag. 205
1. Una moneda se lanza tres veces. Sea la variable x el “numero de águilas” que ocurren en estos tres lanzamientos de la variable aleatoria. Encuentre la media, la varianza y la desviación estándar de x.

En este experimento hay 8 resultados posibles(AAA,AAS,ASA,ASS,SAA,SAS,SSA,SSS). Uno es x=0, tres son x=1, tres son x=2 o uno es x=3. En consecuencia, las probabilidades para esta variable aleatoria son 1/8, 3/8, 3/8 o 1/8. La distribución de probabilidad asociada con este experimento se muestra en la siguiente figura y tabla, donde también se presentan las extensiones y sumatorias necesarias para los cálculos de la media, varianza y desviación estándar.

X | P(x)| xP(x) | X2 | X2P(x) |
0 | 1/8 | 0/8 | 0 | 0/8 |
1 | 3/8 | 3/8 | 1 | 3/8 |
2 | 3/8 | 6/8 | 4 | 12/8 |
3 | 1/8 | 3/8 | 9 | 9/8 |
Totales | Σ[P(x)=]8/8=1 | Σ[xP(x)=]12/8=1.5 | Σx2=14 | Σ[x2P(x)=]24/8=3 |

La media seria:

µ=Σ[xP(x)]=1.5

Entonces, 1.5 es el numero medio de águilas esperadas por el experimento de tres monedas.

La varianza seria:
σ2=Σ[x2P(x)]-{ Σ[xP(x)]}2σ2=3-(1.5)2=3-2.25=0.75

La desviación estándar seria:
σ = √ σ2=√(0.75)= 0.866 = 0.87

es decir, 0,87 es la desviación estándar esperada entre el numero de águilas observadas por el experimento de tres monedas.

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2. Considere un experimento que requiere extraer cinco cartas, una a la vez con reemplazamiento, de una baraja bien mezclada. La carta extraida como “espada” o “no espada” seregresa al mazo, que vuelve a mezclarse, etc. La variable aleatoria x es el numero de espadas observadas en el conjunto de cinco extracciones. Es un experimento binomial? Se identificaran las diversas propiedades.
1. Hay cinco extracciones repetidas; n=5. Estos ensayos individuales son independientes, ya que la carta extraida se regresa al mazo y este vuelve a mexclarse anted de hacer lasiguiente extracción.
2. Cada extracción es un ensayo y tienen dos resultaods posibles: “espada” o “ no espada”.
3. p=P(x=espada)=13/52 y q = P(no espada)=39/52. (p+q=1 )
4. x es el numero de espadas registradas en los cinco ensayos, con los valores posibles 0,1, 2,3,4,5.
La función de probabilidad binomial es
P(x) =5x1352x39525-x = 5x 14x 345-x, para x = 0,1,2,3,4 o 5.
P(0) =50140345= (1)(1)(0,2373)=0,2373
P(1) =51141344 = (5)(0,25)(0,3164)=0,3955
P(2) =52142343 = (10)(0.0625)(0,421875)=0,2637
P(3) =53143342 = (10)(0,015625)(0,5625)=0,0879
P(5) =55145340 = No es posible
La distribución de probabilidad precedente indica que el valor mas probable de x es 1, el evento de observar exactamente una espada en una mano de cinco cartas. El numero menos probable de espadas quepuede observase es el cinco.
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3. El gerente de Steve´s Food Market garantiza que ninguno de los sus paquetes con 12 huevos contiene mas de uno en mal estado. Si un paquete contiene mas de un huevo en mal estado, el sustituirá toda la docena y permitirá qe el cliente se lleve los huevos originales. Si la progabilidad de que un huevo individual este en mal estado es de 0.05. cual es laprobabilidad de que el gerente tenga que reemplazar un paquete de huevos?
Suponiendo que este es un experimento binomial, sea x el numero de huevos en mal estado, encontrados en un paquete de doce, p=P(en mal estado)=0.05, y sea la inspección de cada huevo un ensayo que da por resultado el descubrimiento de un huevo, “en mal estado” o “ en buen estado”. Hay n = 12 ensayos. Para encontrar laprobabilidad de que el gerente tenga que hacer efectiva su garantía, se requiere la función de probabilidad asociada con este experimento:
P(x)=12x (0.05)x(0.95)12-x para x=0,1,2..12
La probabilidad de que el gerente reemplace una docena de huevos es que x=2,3,..12; siendo ΣP(x)=1, es decir,
P(0)+ P(1)+ P(2)+ P(3)+ P(4)+ P(5)+ P(6)… P(12)=1
P(reemplazamiento)=P(2)+P(3)…P(12)=1-[P(0)+P(1)]...
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