Probabilidad

Modelos probabil´sticos
ı
Modelos probabil´sticos de variables aleatorias continuas
ı
´
Distribucion Uniforme

Modelos probabil´sticos
ı
Modelos probabil´sticos de variables aleatorias continuas
ı
´
Distribucion Uniforme

´
Se dice que una v.a.c. X tiene una distribucion uniforme sobre (a, b)
´
con a < b. Si su f.d.p. esta dada por:
fX (x) =
´
Notacion:X ∼ U(a, b)

1
b−a0

si a < x < b
e.o.c

Modelos probabil´sticos
ı
Modelos probabil´sticos de variables aleatorias continuas
ı
´
Distribucion Uniforme

Esperanza y varianza de una Variable aleatoria
Uniforme
Si X ∼ U (a, b), entonces
b

E(X ) =
a

x
x2
=
b−a
2(b − a)

b
a

(b − a)(b
b 2 − a2
✘✘✘ + a) = b + a
=
=
2(b − a)
2✘✘a)
(b − ✘
2

V (X ) = E(X 2 ) − [E(X )]2
b

2E(X ) =
a

x3
x2
=
b−a
3(b − a)

b
a

(b − a)(b
b 3 − a3
✘✘✘ 2 + ab + a2 ) = b2 + ab + a2
=
=
3(b − a)
3✘✘a)
(b − ✘
3

b+a
b2 + ab + a2
−
V (X ) =
3
2
As´, si X ∼ U (a, b), entonces
ı
b+a
E(X ) =
,
2

2

(b − a)2
=
12

(b − a)2
V (X ) =
12

Modelos probabil´sticos
ı
Modelos probabil´sticos de variables aleatorias continuas
ı
´
DistribucionUniforme

´
˜
El precio de la bencina para el proximo ano se estima que oscile
uniformemente entre $800 y $850.
i) Calcule el valor esperado del precio de la bencina durante el
´
˜
proximo ano.
´
´
ii) Calcule la desviacion estandar del precio de la bencina durante
´
˜
el proximo ano.
iii) Calcule la probabilidad de que el precio de la bencina durante el
´
˜
proximo ano se mantengaconstante en $820.
iv) Calcule la probabilidad de que el precio de la bencina durante el
´
˜
proximo ano sea superior a $835

Modelos probabil´sticos
ı
Modelos probabil´sticos de variables aleatorias continuas
ı
´
Distribucion Normal

´
Se dice que una v.a.c X tiene una distribucion Normal con
´
´
parametros µ y σ si su f.d.p esta dada por
fX (x) =

√1
2πσ

exp − 1
2
0x−µ 2
σ

si x, µ ∈ R, σ ∈ R+
e.o.c

´
Notacion:X ∼ N (µ, σ 2 )
E(X ) = µ;

V (X ) = σ 2

Modelos probabil´sticos
ı
Modelos probabil´sticos de variables aleatorias continuas
ı
´
Distribucion Normal

´
La media µ se puede interpretar como un factor de traslacion.
´
´
La desviacion estandar σ se puede interpretar como un factor de
´
escala, grado de dispersion.

Modelosprobabil´sticos
ı
Modelos probabil´sticos de variables aleatorias continuas
ı
´
Distribucion Normal

´
Teorema (Teorema de estandarizacion)
Dada una variable X ∼ N (µ, σ 2 ), considere la siguiente
´
estandarizacion.
X −µ
Z =
σ
, Entonces
x −µ
P(X ≤ x) = P Z ≤
σ
´
´
´
Ademas la v.a Z ∼ N (0, 1), (distribucion normal estandar) la cual se
encuentran tabuladas susprobabilidades.

Modelos probabil´sticos
ı
Modelos probabil´sticos de variables aleatorias continuas
ı
´
Distribucion Normal

Si X ∼ N (µ, σ 2 ), sabemos que
fX (x) =

√1
2πσ

exp

−1
2

x−µ 2
σ

0

Entonces
fZ (z) =

√1
2π

exp − 1 z 2
2
0

si x, µ ∈ R, σ ∈ R+
e.o.c
si z ∈ R
e.o.c

Modelos probabil´sticos
ı
Modelos probabil´sticos de variables aleatorias continuas
ı´
Distribucion Normal

Considere zα un valor, al cual lo llamaremos cuantil correspondiente
´
a la v.a. normal estandar. Para obtener zα , primero se busca la
probabilidad mas cercana a α. Luego se toman los valores de la fila y
´
´
la columna de la tabla (se puede usar interpolacion). Ademas se
cumple la propiedad de simetr´a zα = −z1−α .
ı

Modelos probabil´sticos
ı
Modelosprobabil´sticos de variables aleatorias continuas
ı
´
Distribucion Normal

1

Sea Z una variable aleatoria normal estandarizada. Encuentre
i)
ii)
iii)
iv)

2

P(0 ≤ Z ≤ 1, 96)
P(Z > 1, 96)
P(−1, 96 ≤ Z ≤ 1, 96)
P(−1 ≤ Z ≤ 1, 96)

´
Si Y tiene una distribucion normal con media igual a 500 y
´
´
desviacion estandar igual a 100. Encuentre
i) P(500 ≤ Y ≤ 696)
ii) P(Y ≥ 696)...