Probabilidad

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Probabilidad para estadística Combinatoria

Combinatoria
• Técnicas de conteo para ser aplicadas en el cálculo de las probabilidades.
En muchos problemas de probabilidades debemos: Citar todas las alternativas posibles en una situación. O por lo menos identificar cuantas posibilidades existen.

La combinatoria proporciona los procedimientos y fórmulas necesarias para contar lasposibilidades que hay de elegir un conjunto de elementos con determinadas características

Reglas de la multiplicación
• Si una operación consta de 2 pasos, de los cuales el primero puede efectuarse de n1 formas y para cada una de éstas el segundo puede realizarse de n2 formas, entonces toda la operación se lleva a cabo de n1*n2 maneras.

Reglas de multiplicación
Ejemplo 1: Supóngase que alguiendesea viajar en 3 tipos de vehículos diferentes para un periodo de vacaciones, a una de 5 ciudades de la costa. Determine el nº de formas diferentes en que se logra esto. Solución: El vehículo en que se viajará se puede escoger de 3 formas diferentes (n1=3) Las ciudades a visitar, se pueden escoger de 5 maneras diferentes (n2=5) Entonces, el total de combinatorias posibles es n1*n2 = 3*5 = 15 manerasdiferentes de visitar una ciudad en un tipo de vehículo.

Reglas de multiplicación
Ejemplo 2: ¿Cuántos almuerzos diferentes se pueden formar si se componen de: sopa, plato de fondo, postre y bebidas, pudiendo elegir entre 4 tipos de sopas, 3 clases de plato de fondo, 5 tipos de postres y 4 tipos de bebidas diferentes?.

Solución: El nº de combinatorias posibles de elegir un almuerzo es: 4 ·3 · 5 · 4 = 240 formas diferentes.

Permutación sin elementos repetidos
• Al tomar todos los elementos de un conjunto finito y ordenarlos de todas las maneras posibles, tendremos una permutación. Es decir, con “n” elementos, se ordenan de todas las maneras, sin dejar ninguno fuera de la ordenación.

Permutación sin elementos repetidos
• Ej. Si se tiene las letras a, b y c, sus ordenacionesson: • abc, acb, bac, bca, cab, cba. • En total, 6 maneras de ordenar las 3 letras

Permutación sin elementos repetidos
• Para calcular sus valores, se efectúa el siguiente cálculo cuando la ordenación es en forma lineal.

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11
Ejemplo: ordenar 7 personas en una fila. P7 = 7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 ·7 = 5040 maneras.

Permutación con elementos repetidos
• Envariadas situaciones se deben ordenar n elementos dentro de los cuales hay algunos repetidos. Si se supone que de n elementos, hay p elementos iguales entre si, q elementos iguales entre si y r elementos iguales entre si. La forma de ordenar estos n elementos es:

Permutación con elementos repetidos
Ejemplo: ordenar en fila 7 fichas, de las cuales hay 2 fichas rojas, 4 azules y 1 amarilla.
Solución:Como deben ordenarse las 7 fichas, se concluye que es una permutación, pero con elementos repetidos.

Variaciones sin elementos repetidos
• Se dispone de un elemento, pero se escogen k (algunos) de ellos. Se llama variación de orden k, a cada grupo que se pone de k elementos escogidos de un total, se tiene algún elemento distinto o el orden en que están ubicados es diferente. Su cálculo es: Variaciones sin elementos repetidos
Ejemplo: Se toman 4 nombres de los 24 miembros de un club para ocupar los cargos de presidente, vicepresidente, tesorero y secretario. ¿En cuántas formas diferentes puede hacerse?. Solución:

Presidente Juan Pedro José … Etc.

Vicepresidente Pedro Diego Pedro … Etc.

Tesorero Diego Juan Juan … Etc.

Secretario José José Diego … Etc.

Los 4escogidos se pueden formar grupos diferentes:

• De un total de n elementos, se deben escoger k de ellos para formar un grupo, pero en este caso, algunos elementos están repetidos. Cada grupo difiere de otro por los elementos que lo componen o por el orden en que están ubicados. Es decir, interesa el orden de los elementos dentro del grupo. Su cálculo se efectúa a través de:

Variaciones con...
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