Probabilidad

Supongamos que disponemos de una población en la que tenemos una v.a. con distribución N(m , s) con s conocida (de estudios previos, por ejemplo). Obtenemos una muestra de tamaño n y deseamos estimarla media m de la población.

El estimador puntual de la misma es la media muestral cuya distribución muestral es conocida

la cantidad

tendrá distribución normal estándar.

Sobre ladistribución N(0 , 1) podremos seleccionar dos puntos simétricos -za/2 y za/2 , tales que



Figura 1: Selección de los puntos críticos para el cáculo del intervalo de confianza.



Sustituyendo Zpor su valor en este caso particular

Despejando la media muestral y la varianza





que verifica las condiciones de la definición.





Así, el intervalo de confianza para la mediapuede escribirse como

en la práctica, de todos los posibles valores de tenemos uno sólo y por tanto un único intervalo de todos los posibles para distintas muestras



La importancia delintervalo de confianza para la estimación está en el hecho de que el intervalo contiene información sobre el estimador puntual (valor central del intervalo) y sobre el posible error en la estimación através de la dispersión y de la distribución muestral del estimador. Observese que el error en la estimación está directamente relacionado con la distribución muestral del estimador y con la varianzapoblacional, e inversamente relacionado con el tamaño muestral.



El gráfico siguiente ilustra la interpretación del nivel de confianza para el intervalo de confianza para la media de unadistribución normal con varianza conocida. Para los distintos posibles valores de la media, representados mediante su distribución muestral, obtenemos distintos intervalos de confianza. La mayor parte incluyeal verdadero valor del parámetro, pero el resto no. Concretamente el 95% lo incluye y el 5% no, si el nivel de confianza es del 95%.



En la práctica disponemos de una única repetición del...