Probabilidad

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1. Probabilidad

Cuando un experimento puede dar lugar a varios resultados, sin que podamos predecir qué ocurrirá, diremos que se trata de un experimento aleatorio. Cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio tiene una cierta probabilidad de ocurrir; lo primero que haremos será formalizar el concepto de probabilidad.

1.1. Espacio muestral y espacio de sucesosConsideremos un experimento aleatorio. Llamaremos suceso elemental a cada uno de sus posibles resultados; el conjunto cuyos elementos son todos los sucesos elementales es el espacio muestral asociado a ese experimento. Denotaremos por E al espacio muestral. Un suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral, incluidos  (suceso imposible) y E (suceso seguro). El conjunto de todos los sucesoscompuestos es el espacio de sucesos.

1.2. Probabilidad
Sea E el espacio muestral asociado a un cierto experimento aleatorio; sean A , B , ... elementos del espacio de sucesos. Denotemos por P(A) a la probabilidad del suceso A. Entonces, P deberá cumplir las siguientes condiciones: (a) P( A)  0 (b) P(E )  1
  (c) P  Ai    P( Ai ) , con Ai  A j   si i  j .    i 1  i 1

Comoconsecuencia, se cumplirá también que: (1) P()  0 (2) P( A )  1  P( A)
c

(3) P( A)  1

(4) P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)

1.3. Probabilidad condicionada. Independencia. Teorema de Bayes
Sean A y B dos elementos del espacio de sucesos de un cierto experimento. Llamaremos probabilidad de A condicionada por B, y la denotaremos por P(A | B ), a la probabilidad de que ocurra Acuando ya ha ocurrido B. Tendremos: P( A  B) P( A | B)  P( B) Diremos que los sucesos A y B son independientes cuando el saber que ha ocurrido uno de ellos no aporta información sobre la probabilidad de que ocurra el otro. En este caso, P(A | B )=P(A) y P(B | A )=P(B). Es fácil comprobar que esto equivale a P(AB)= P(A)·P(B).
Regla de la probabilidad compuesta:

Sea E el espacio muestralasociado a un cierto experimento aleatorio; sean A1 , A2 , ... , An  E. Entonces:
P( A1  A2    An )  P( A1 )  P( A2 | A1 )  P( A3 | A2  A1 )  P( An | An 1    A2  A1 )

Teorema de la probabilidad total: Sea E el espacio muestral asociado a un cierto experimento aleatorio; sean A1 , A2 , ... , An una partición de E, y B  E cualquiera. Entonces:
P( B)  P( B | A1 ) P( A1 )  P( B | A2 )P( A2 )    P( B | An ) P( An )

Teorema de Bayes: Sea E el espacio muestral asociado a un cierto experimento aleatorio; sean A1 , A2 , ... , An una partición de E, y B  E cualquiera. Entonces: P( Ak  B ) P( B | Ak )P( Ak )  n P( Ak | B )  P( B ) P( B | A )P( A )


i 1

i

i

ESTADÍSTICA

11

TEMA 2

ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR DE BURGOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS YCOMPUTACIÓN

GRADO EN INGENIERÍA INFORMÁTICA CURSO 2011-12

2.

Variables aleatorias

Una variable aleatoria se construye asignando un número a cada posible resultado de un experimento aleatorio. Por ejemplo:
 

Experimento: medir a un alumno de la clase. Variable: X = estatura del alumno.
 1 si sale cara Experimento: lanzar una moneda. Variable: Y    0 si sale cruz

2.1.Variables aleatorias discretas
Una variable aleatoria es discreta cuando el número de valores que puede tomar es finito o numerable. Sea X una v.a. discreta que toma los valores x1 , x2 , x3 , ... . Entonces, definimos: Función de probabilidad: Es una función p que asocia a cada número x la probabilidad de que la variable X tome precisamente ese valor: p(x) = P(X =x). Función de distribución: Es unafunción F que asocia a cada número x la probabilidad de que la variable X tome un valor menor o igual que x: F(x) = P(X  x). n Si colocamos los números xi en orden creciente: x1 < x2 < x3 ... , resulta que F ( x n )   p ( x i ) i= 1 Tendremos: (1) 0  p ( x )  1 ; 0  F ( x )  1  x   (2)  p ( x i )  1
i 1 

(3) F ( x n )   p( x i )
i 1

n

(4) F es una función creciente.
...
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