Probabilidad

Tema 14 – Cálculo de probabilidades – Matemáticas I – 1º Bachillerato

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TEMA 14 – CÁLCULO DE PROBABILIDADES
ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS EJERCICIO 1 : En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el número que tiene. a) Describe los sucesos escribiendo todos sus elementos: ) A = "Obtener par" B = "Obtener impar" C = "Obtener primo" D = "Obtener imparmenor que 9" b) ¿Qué relación hay entre A y B? ¿Y entre C y D? ) c) ¿Cuál es el suceso A ∪ B? ¿y C ∩ D? ) Solución: a) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} B = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} C = {2, 3, 5, 7, 11, 13} D = {3, 5, 7} b) B = A'; D ⊂ C c) A ∪ B = E (Espacio muestral); C ∩ D = D EJERCICIO 2 : Consideramos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. a) ¿Cuál es el espacio muestral?¿Cuántos elementos tiene? ) b) Describe los sucesos escribiendo todos sus elementos.: A = "Obtener dos caras y una cruz" ) B = "Obtener al menos dos caras" C = "Obtener al menos una cruz" c) Halla los sucesos B ∩ C y C' ) Solución: a) E = { (C, C, C), (C, C, +), (C, + ,C), (+, C, C), (C, +, +), (+, C, +), (+, +, C), (+, +, +) } Tiene 8 elementos. b) A = { (C, C, +), (C, + ,C), (+, C, C) } B = { (C,C, C), (C, C, +), (C, + ,C), (+, C, C) } C = { (C, C, +), (C, + ,C), (+, C, C), (C, +, +), (+, C, +), (+, +, C), (+, +, +) } c) B ∩ C = { (C, C, +), (C, + ,C), (+, C, C) } C ' = { (C, C, C) } EJERCICIOS PROBABILIDAD EJERCICIO 3 : Sean A y B los sucesos tales que: Calcula P[A ∪ B] y P[B]. Solución: • Calculamos en primer lugar P[B]: P[A] = 0,4 P[A' ∩ B] = 0,4 P[A ∩ B] = 0,1

P[B] = P[A' ∩ B] +P[A ∩ B] =0,4 + 0,1 = 0,5 • P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] = 0,4 + 0,5 − 0,1 = 0,8 EJERCICIO 4 : Sabiendo que: P[A ∩ B] = 0,2 Calcula P[A ∪ B] y P[A]. Solución: P[B'] = 0,7 P[A ∩ B'] = 0,5

P[A] = P[A ∩ B'] + P[A ∩ B] = 0,5 + 0,2 = 0,7 P[B] = 1 − P[B'] = 1 − 0,7 = 0,3 P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] = 0,7 + 0,3 − 0,2 = 0,8

Tema 14 – Cálculo de probabilidades – Matemáticas I – 1ºBachillerato
EJERCICIO 5 : De dos sucesos A y B sabemos que: P[A'] = 0,48 a) ¿Son A y B independientes? b) ¿Cuánto vale P[A / B]? ) ) P[A ∪ B] = 0,82 P[B] = 0,42

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Solución: a) P[A'] = 1− P[A] = 0,48 → P[A] = 0,52 P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] → 0,82 = 0,52 + 0,42 − P[A ∩ B] → P[A ∩ B] = 0,12 P[A ]⋅ P[B] = 0, 52 ⋅ 0, 42 = 0, 2184    P[A ∩ B] ≠ P[A ]⋅ P[B] ⇒ No son independientes.  P[A ∩ B]= 0, 12  P[A ∩ B] 0,12 b) P[A / B] = = = 0, 29 0,42 P[B] EJERCICIO 6 : Si A y B son dos sucesos tales que: P[A] = 0,4 P[B / A] = 0,25 a) ¿Son A y B independientes? b) Calcula P[A ∪ B] y P[A ∩ B]. ) ) Solución: a) P[B'] = 1 − P[B] = 0,75 → P[B] = 0,25 Como P[B / A] = 0,25 y P[B] = 0,25, tenemos que: P[B / A] = P[B] → A y B son independientes. b) Como A y B son independientes: P[A ∩ B] = P[A] ·P[B] = 0,4 · 0,25 = 0,1 Así: P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] = 0,4 + 0,25 − 0,1 = 0,55 PROBLEMAS PROBABILIDAD EJERCICIO 7 : En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si un opositor sabe 35 de los 85 temas, ¿cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas? Solución: Tenemos que hallar la probabilidad de que ocurra elsiguiente suceso: A = “el opositor conoce, al menos, uno de los tres temas” Para calcularla, utilizaremos el complementario. Si sabe 35 temas, hay 85 – 35 = 50 temas que no sabe; entonces: 50 49 48 P [A] = 1 – P [A’] = 1 – P [“no sabe ninguno de los tres”] = = 1 − ⋅ ⋅ = 1 − 0,198 = 0,802 85 84 83 Por tanto, la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas es de 0,802. EJERCICIO 8 : Tenemos paraenviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. Si metemos al zar cada carta en uno de los sobres, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el sobre que le corresponde? Solución: Hacemos un diagrama que refleje la situación. Llamamos a los sobres A, B y C; y a las cartas correspondientes a, b y c. Así, tenemos las siguientes posibilidades: P[B'] = 0,75...