Probabilidad

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Apuntes de la asignatura
ESTAD´
ISTICA

Titulaci´n: Ingenier´ de Telecomunicaciones
o
ıa
Centro: Escuela Polit´cnica Superior
e
Departamento: Matem´ticas
a
Autor: Angel Blasco

Tema 1
PROBABILIDAD
1.1.

Experimentos aleatorios y sucesos

Un experimento aleatorio es aquel en el que no somos capaces de
predecir con seguridad el resultado. A cada uno de los posiblesresultados de tal experimento se le denomina suceso elemental. El conjunto
de todos los sucesos elementales asociados a un experimento es el espacio muestral, que denotaremos por Ω.
Ejemplo 1.1. En el experimento aleatorio de tirar un dado el espacio muestral ser´a Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Cualquier suceso referente al
ı
resultado del experimento se obtiene mediante acumulaci´n de sucesos
oelementales. Por ejemplo el suceso
A ≡ {que salga un n´mero par} = {2, 4, 6}
u
El conjunto de todos los sucesos, elementales y no elementales, asociado a un experimento aleatorio se denomina espacio de sucesos.
Nosotros lo denotaremos por A. Obs´rvese que, seg´n lo dicho, todo
e
u
suceso debe ser siempre un subconjunto de Ω y por tanto ocurrir´ A ⊆
a
P(Ω). De hecho, nosotros trabajaremos siemprecon A = P(Ω).
Seg´n lo dicho, todo suceso es un conjunto y por tanto podemos
u
aplicar sobre ellos todas las operaciones que conocemos de la teor´ de
ıa
2

TEMA 1. PROBABILIDAD

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conjuntos. Dados dos sucesos A, B ∈ A tenemos:
Suceso uni´n (A ∪ B). Ocurre cuando ocurren A o B, pero no
o
necesariamente ambos a la vez.
Suceso intersecci´n (A∩B). Ocurre cuando ocurren ambos sucesos,o
A y B.
Suceso complementario (Ac ). Ocurre cuando no ocurre A.
Resta de sucesos (A\B). Ocurre cuando ocurre A pero no ocurre
B.

1.2.

Definici´n de probabilidad
o

Existe diversas definiciones de probabilidad que ofrecen puntos de
vista interesantes. Veamos algunas de ellas:
a) Definici´n subjetivista. Esta es la definici´n que podr´
o
o
ıamos encontrar en un diccionario: Laprobabilidad de un suceso es el grado
de certeza que tenemos de que ese suceso va a ocurrir.
Esta definici´n es interesante para saber de qu´ estamos hablando
o
e
pero tiene el problema de que, como su nombre indica, es subjetiva
ya que el “grado de certeza” al que hace referencia puede variar de
una persona a otra. Necesitamos un modo de medir dicha certeza
que sea objetivo y v´lido paracualquier persona.
a
b) Definici´n frecuentista (Von Mises). Esta es la definici´n cl´sica de
o
o
a
probabilidad y est´ basada en el concepto de frecuencia. Cuando
a
repetimos n veces un experimento se define la frecuencia absoluta del suceso A (que denotaremos por nA ) como el n´mero
u
total de veces que ha ocurrido dicho suceso. A su vez, se define la
n
frecuencia relativa de A (fA ) como laproporci´n de veces que
o
ocurre A, es decir:
nA
n
fA =
n

TEMA 1. PROBABILIDAD

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Von Mises observ´ que si repet´ un experimento muchas veces,
o
ıa
siempre en las mismas condiciones, las frecuencias relativas de los
distintos sucesos tend´ a estabilizarse en unos valores concreıan
tos. Estableci´ como premisa que esto era as´ siempre y defini´ la
o
ı
o
probabilidad de unsuceso como el l´
ımite de su frecuencia relativa
cuando el n´mero de repeticiones del experimento tend´ a infinito,
u
ıa
es decir:
P (A) = l´ fA
ım n
n→∞

o
o
c) Definici´n de Laplace. Esta definici´n proporciona una regla de
c´lculo que puede resultar muy util en determinadas ocasiones.
a
´
Dado un experimento aleatorio y un suceso A, Laplace denominaba
casos posibles a todos lossucesos elementales del experimento y
casos favorables a aquellos que estaban incluidos en A. A partir de
aqu´ defin´ la probabilidad de A como:
ı,
ıa
P (A) =

n´mero de casos favorables
u
n´mero de casos posibles
u

Esta definici´n encierra tambi´n un problema y es que parte de la
o
e
premisa de que todos los sucesos elementales (casos posibles) son
equiprobables, en caso contrario la...