Probabilidad

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ESTADISTICA I

INGENIERIA INDUSTRIAL

Clave de la asignatura: INB-0403

UNIDAD 1

1.4 Distribución de probabilidad t-Student

Modelos de probabilidad. La distribución t de Student. Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de probabilidad t o T de Student con k grados de libertad , donde k es un entero positivo, si su función de densidad es la siguiente : 
[pic]
La gráficade esta  función de densidad es simétrica, respecto del eje de ordenadas, con independencia del valor de k, y de forma algo semejante a la de una distribución normal :  
[pic]

Su valor medio y varianza son 
[pic]
La ley de probabilidad de la media muestral en una población normal con varianza desconocida. Si X1, X2, ..., Xn son variables aleatorias  independientes  con ley de probabilidadnormal N(μ,σ) , es decir, una muestra aleatoria de tamaño n extraída de una población N(μ,σ), entonces 
[pic]

DISTRIBUCION "t DE STUDENT"
Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media [pic]y varianza [pic]. Si [pic]es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribución [pic]es una distribución normal estándar. Supóngase que lavarianza de la población [pic]2 es desconocida. ¿Qué sucede con la distribución de esta estadística si se reemplaza [pic]por s? La distribución t proporciona la respuesta a esta pregunta.
La media y la varianza de la distribución t son [pic]’ 0 y [pic]para [pic]>2, respectivamente.
La siguiente figura presenta la gráfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribución t essimilar a la de la distribución normal estándar: ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de la ordenada se alcanza en la media [pic]’ 0. Sin embargo, la distribución t tiene colas más amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribución normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, la forma límite de la distribución t es ladistribución normal estándar.
[pic]
 
Propiedades de las distribuciones t
1. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.
2. Cada curva t, está más dispersa que la curva normal estándar z.
3. A medida que [pic]aumenta, la dispersión de la curva t correspondiente disminuye.
4. A medida que [pic][pic][pic], la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estándar,por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con gl = [pic]
La distribución de la variable aleatoria t está dada por:
[pic]
Esta se conoce como la distribución t con [pic]grados de libertad.
Sean X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias independientes que son todas normales con media [pic]y desviación estándar [pic]. Entonces la variable aleatoria [pic]tiene una distribución t con[pic]= n-1 grados de libertad.
La distribución de probabilidad de t se publicó por primera vez en 1908 en un artículo de W. S. Gosset. En esa época, Gosset era empleado de una cervecería irlandesa que desaprobaba la publicación de investigaciones de sus empleados. Para evadir esta prohibición, publicó su trabajo en secreto bajo el nombre de "Student". En consecuencia, la distribución tnormalmente se llama distribución t de Student, o simplemente distribución t. Para derivar la ecuación de esta distribución, Gosset supone que las muestras se seleccionan de una población normal. Aunque esto parecería una suposición muy restrictiva, se puede mostrar que las poblaciones no normales que poseen distribuciones en forma casi de campana aún proporcionan valores de t que se aproximan muy de cercaa la distribución t.
La distribución t difiere de la de Z en que la varianza de t depende del tamaño de la muestra y siempre es mayor a uno. Unicamente cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones serán las mismas.
Se acostumbra representar con [pic]el valor t por arriba del cual se encuentra un área igual a [pic]. Como la distribución t es simétrica alrededor de una...
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