probabilidades

1. El 70% de empresas tiene errores en sus activos financieros, el 60% tiene errores en
sus pasivos financieros y el 40% tiene errores en sus activos y en sus pasivos
financieros. Obtén razonadamente el porcentaje de empresas sin errores en sus
activos, en sus pasivos o en ambos. De una muestra de 500 empresas, ¿cuántas se
espera que no tengan errores ni en sus activos ni en sus pasivosfinancieros?
Solución:
Llamemos A = {tener errores en los activos financieros} y B = {tener errores en los
pasivos financieros}. Entonces P(A) = 0’7, P(B) = 0’6 y P(A Ç B) = 0’4.
El suceso “no tener errores en los activos financieros” es A y por tanto P(A ) =
= 1 - P(A) = 1 - 0’7 = 0’3 lo que significa el 30%.
El suceso “no tener errores en los pasivos financieros” es B y por tanto P(B ) =
= 1 -P(B) = 1 - 0’6 = 0’4 lo que significa el 40%.
El suceso “no tener errores en ambos” equivale a “no tener errores en los activos
financieros y no tener errores en los pasivos financieros”, es decir, A ÇB . Pero, por
las leyes de Morgan, A ÇB = A ÈB. Entonces P(A ÇB ) = P(A ÈB) =
= 1 - P(A È B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A Ç B)] = 1 - (0’7 + 0’6 - 0’4) = 1 - 0’9 =
= 0’1 lo que significa un 10%.Según lo anterior se espera que un 10% de las empresas no tengan errores ni en sus
activos ni en sus pasivos financieros. Si tenemos una muestra de 500 empresas
podemos esperar que 500
100
10 = 50 empresas no tengan errores ni en sus activos ni
en sus pasivos financieros.
2. Un jugador de fútbol, especialista en lanzar penaltis, mete 4 de cada 5 que tira. Para
los próximos tres penaltis seconsideran los siguientes sucesos: A = {mete sólo uno
de ellos}, B = {mete dos de los tres} y C = {mete el primero}. Halla la probabilidad
de los sucesos A È B, A Ç C y B Ç C.
Solución:
Llamemos M al suceso “meter penalti”. Entonces P(M) =
5
4 y por tanto P(M) =
5 1
.
Observemos que el suceso A es equivalente a “meter el primero y no meter el
segundo y no meter el tercero, o bien no meterel primero y meter el segundo y no
meter el tercero, o bien no meter el primero y no meter el segundo y meter el
tercero”, que simbólicamente podemos escribir así:
A = (M1 ÇM2 Ç M3) È (M1 Ç M2 Ç M3) È (M1 Ç M2 Ç M3)
Los subíndices indican el número del penalti lanzado. Observemos también que
cada uno de los sucesos encerrados entre paréntesis son incompatibles dos a dos, es
decir, no esposible que ocurra simultáneamente “meter el primer penalti y no los
dos siguientes” y “no meter los dos primeros y meter el tercero”, por ejemplo. Esta
última observación nos lleva necesariamente a:
Matemáticas aplicas a las Ciencias Sociales II Pedro Castro Ortega
Ejercicios de probabilidad Profesor del IES “Fernando de Mena”
2
P(A) = P[(M1 ÇM2 Ç M3) È (M1 Ç M2 Ç M3) È (M1 Ç M2 Ç M3)] =
P(M1ÇM2 Ç M3) + P(M1 Ç M2 Ç M3) + P(M1 Ç M2 Ç M3) (1), pues sabemos
que si A, B y C son dos sucesos cualesquiera incompatibles dos a dos (A Ç B = Æ,
A Ç C = Æ y B Ç C = Æ) entonces P(A È B È C) = P(A) + P(B) + P(C).
Hagamos notar, para terminar esta parte, que el hecho de meter o no un penalti no
influye para nada en lo que ocurra en el lanzamiento del siguiente, es decir, meter o
no meter elprimer penalti es independiente de meter o no meter el segundo y de
meter o no meter el tercero. Teniendo en cuenta esto podemos escribir (1) así:
(1) = P(M1) · P(M2) · P(M3) + P(M1) · P(M2) · P(M3) + P(M1) · P(M2) · P(M3) =
=
5 4
5 1
5
1
5 1
5 4
5 1
5 1
5 1
5
4 × × + × × + × × =
125
4
125
4
125
4 + + =
125
12 , pues también hemos de
saber que si A, B y C son sucesosindependientes dos a dos, entonces P(A Ç B Ç C)
= P(A) · P(B) · P(C).
Con todo lo anterior hemos demostrado que P(A) =
125
12
Calculemos ahora P(B). Por un razonamiento semejante al anterior podemos escribir
ahora B = (M1 Ç M2 Ç M3) È (M1 Ç M2 Ç M3) È (M1 Ç M2 Ç M3) y por tanto
P(B) = P(M1 Ç M2 Ç M3) + P(M1 Ç M2 Ç M3) + P(M1 Ç M2 Ç M3) =
P(M1) · P(M2) · P(M3) + P(M1) · P(M2) · P(M3) + P(M1) ·...