Probabilidades

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Nuevos algoritmos de inferencia en redes de creencia
´ ´ Andres Cano, Manuel Gomez, Seraf´n Moral ı ´ Departamento de Ciencias de la Computacion Universidad de Granada

Nuevos algoritmos de inferencia en redes de creencia– p.1

El problema
Objetivo principal

Usar intervalos de probabilidad o bien conjuntos de creenc (credal sets) en las redes de dependencia (credal networks Desarrollaralgoritmos de propagación para obtener información a posteriori en credal networks.

Y P(Y)=([.3,.4] , [.6,.7]) [.2,.3] [.7,.8] X P(X | Y)= [.4,.6] [.4,.6] ¿ P(X) ?

Nuevos algoritmos de inferencia en redes de creencia– p.2

Conjunto de creencia - Intervalos
´ Ejemplo de conjunto de creencia asociado a una distribucion dada por intervalos

P (Cancer) =

[0.2,0.3] si Cancer = ausente[0.7,0.8] si Cancer = presente
P(ausente)
1.0 0.9 0.8 0.7

  (0.2,0.8) V ertices(P (Cancer)) =  (0.3,0.7)

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

P(presente)

Nuevos algoritmos de inferencia en redes de creencia– p.3

Conjuntos de creencia - Intervalos
Otro ejemplo
  [0.0,0.5] si X = x1   [0.0,0.5] si X = x2 [0.0,1.0] si X = x3
0.1 0

P (X) =  

0.3

(1,0,0)

P(u ) 1
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6

  p1 =(0.5,0.5,0.0)      p =(0.0,0.0,1.0) 2 V ertices(P (X)) =  p3 =(0.5,0.0,0.5)      p =(0.0,0.5,0.5)
4

P(u ) 2

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.2

p 1

p 3

0.5 0.4 0.3 0.2

(0,1,0)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

p 4

p 2 (0,0,1)

0.1 0

Nuevos algoritmos de inferencia en redes decreencia– p.4

0.8 0.9 1.0

P(u ) 3

Conjuntos de creencia condicionales

Un conjunto de creencia condicional H X|Y sobre X dado u conjunto de variables Y es un conjunto convexo y cerrado de distribuciones
p : X × Y −→ [0, 1]

que verifican
p(xi , yj ) = 1, ∀yj ∈ ΩY
xi ∈ΩX

Aquí trabajaremos con un conjunto de creencia H X|Y=yj para cada configuración yj de Y (separately specifiedcred sets).

Nuevos algoritmos de inferencia en redes de creencia– p.5

Conjuntos de creencia condicionales
       y1 x1 x2 [0.2,0.3] [0.7,0.8] y2 [0.4,0.6] [0.4,0.6]

P (X|Y ) =

Nuevos algoritmos de inferencia en redes de creencia– p.6

Inferencia en Credal networks

Una red de creencia (credal network ) es un DAG en el que PSfrag replacements se asocia un conjunto de creenciacondicional H X|Y (definido mediante un conjunto de conjuntos convexos especificados separadamente).
HY y1 0.1 0.2 y2 0.9 0.8

Y

r1 r2

H X|Y =y1

x1 0.2 0.3

x2 0.8 0.7

H X|Y =y2 q1 q2

x1 0.4 0.6

x2 0.6 0.4

X

p1 p2

El objetivo de la inferencia en redes de creencia será obtener los intervalos a posteriori de los valores de una variable Xq (∀xi ∈ ΩXq ) dado un conjuntode variables q observadas XE .

Nuevos algoritmos de inferencia en redes de creencia– p.7

Inferencia en Credal networks

Aplicando un algoritmo de propagación exacto obtendríamos un conjunto convexo de distribuciones de Ω X en [0, 1], que llamaremos Rq .

Por ejemplo, si Xq puede tomar dos posibles valores x1 y x2 q q entonces Rq estaría formado por una serie de vértices (p1 , p2 ) (pi =p(xi , xE ), siendo xE la evidencia dada). q PSfrag replacements p(x2 , xE ) q
bx 2 q
4 3

ax 2 5 q
1 0

2

p1+ p2 =1

p(x1 , xE ) q bx 1 q

ax 1 q

Nuevos algoritmos de inferencia en redes de creencia– p.8

Inferencia en Credal networks

Normalizando cada uno de los vértices de Rq podremos calcular el mínimo y máximo de la probabilidad a posteriori para cada xi ∈ ΩXq : q
a =m´ {pi /(p1 + p2 ) | (p1 , p2 ) ∈ Rq } ın
i

(1)

i PSfrag replacements

b = m´x{pi /(p1 + p2 ) | (p1 , p2 ) ∈ Rq } a p(x2 , xE ) q bx 2 q
4 3

ax 2 q
0

5 1

2

p + p =1 1 2

ax1 q

bx 1 q

p(x1 , xE ) q

Nuevos algoritmos de inferencia en redes de creencia– p.9

Inferencia en Credal networks

El tiempo requerido para la inferencia exacta en redes de creencia...
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