Probabilidades
Departamento de Matem´tica a Campus Santiago a
Ayudant´ 2 MAT-042 S2 2010 ıa Pauta
Profesor : Enzo Hern´ndez a Ayudante : Hugo Salazar Riquero
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Estad´ ıstica Descriptiva Bivariada
1. En una muestra de 20 empresas del sector metal´rgico se obtuvieron los siguientes datos u sobre el n´mero de empleados X y los ingresos anuales Y en miles deeuros: u
Y 10 30 50 X − − − 30 50 100
5 − 15 15 − 25 25 − 45 6 1 0 2 1 0 0 0 10
(a) Calcule los ingresos medios anuales. (b) La mediana del n´mero de empleados. u (c) La recta que permita calcular los ingresos sabiendo el n´mero de empleados. u (d) ¿Ser´ fiable la predicci´n que se hiciera? ıa o Desarrollo:
M CY i M CXj 20 40 75 ni·
10 20 6 1 0 7 2 1 0 3
35 n·j 0 0 10 10 8 2 10 20A L TEX
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(a) El ingreso medio est´ dado por: a
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Y
=
i=1
M CY i ·
ni· n
= M CY 1 · =
n2· n3· n1· + M CY 2 · + M CY 3 · n n n
1 · (10 · 7 + 20 · 3 + 35 · 10) 20 480 = 20 ∴ Y = 24
Es decir el ingreso medio es de 24.000 Euros.
(b) Primero debemos identificar la claseasociada al n´mero de empleados que cumpla u Fi ≥ 0, 5. Luego la f´rmula a usar es: o lMe +
n 2 − − NMe I = 30 + nMe 20 2
−8 2
· 20
∴ Me = 50
(c) La ecuaci´n buscada es de la forma Y = a + bX, donde: o 1 n
3 3
M CY i · M CXj · nij
i=1 j=1 3
− X ·Y y a = Y − bX
2
cov (X, Y ) b= = 2 σX
f·j M CXj − X
j=1
284, 5 = 0, 44 644, 3 284, 5 a = 24 − · 49, 5 = 2, 14 644, 3 b = ∴Y = 2, 14 + 0, 44 · X es la recta pedida.
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(d) Para analizar fiabilidad, debemos calcular ρ, el cual debe cumplir que ρ ∈ [−1; −0, 75] ∪ [0, 75; 1] ρ = cov (X, Y ) σX · σY 1 n =
3 3 3
M CY i · M CXj · nij
i=1 j=1 3 2
− X ·Y
f·j M CXj − X
j=1
·
i=1
fi· M CY i − Y
2284, 5 25, 38 · 11, 47 = 0, 977 = ∴ ρ = 0, 977 ∈ [0, 7; 1] por ende, es fiable la predicci´n. o
2. La oferta de un producto sigue la siguiente ecuaci´n: Q = ea− p , siendo p el precio y Q la o oferta. Si se tienen los siguientes datos: A˜o Oferta Precio n 1990 10 1 1991 11 2 1992 12 4 1993 14 4 1994 17 5 Deterinar a y b. Desarrollo: Primero, debemos linealizar la ecuaci´n, haciendo: o Q = ea−p ln (Q) = a −
b
b
/ ln (·)
b p ln (Q) = a + b (−p)−1 y definamos las nuevas variables: φ = ln (Q) y ρ = (−p)−1 , con lo que obtenemos la siguiente ecuaci´n: o φ = a + bρ con esto creamos una nueva tabla:
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φ ρ 2, 30 −1 2, 40 −0, 5 2, 48 −0, 25 2, 64 −0, 25 2, 83 −0, 2 con estainformaci´n podemos calcular los valores de a y b, los que representan intercepto o con el eje Y y pendiente, respectivamente.
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cov (φ, ρ) b= = 2 σρ
(ρi − ρ) φ − φ
i=1 5
y (ρi − ρ)
2
a = φ − bρ
i=1
De aqu´ se obtiene que b = 0, 492 y a = 2, 746 ı
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Teor´ de Probabilidades ıa
1. Tres Caballos A, B y C participan en una carrera. El suceso “A vence a B” se designa por AB,el suceso “A vence a B, el cual vence a C” como ABC, y as´ sucesivamente. Se sabe ı que P (AB) = 2/3, P (AC) = 2/3 y P (BC) = 1/2. Adem´s P (ABC) = P (ACB), P (BAC) = P (BCA) y P (CBA) = P (CAB). Calcular a P (A venza), P (B venza), P (C venza). ¿Son AB, AC y BC independientes? Desarrollo: Primero, debemos suponer que no existen empates. Por ellos los sucesos pertenecientes a Ω son laspermutaciones de las letras A, B y C, por lo que el espacio muestral es: Ω = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} Adem´s: a AB = {ABC, ACB, CAB} AC = {ABC, ACB, BAC} BC = {ABC, BAC, BCA} y hagamos: P ({ABC}) = P ({ACB}) = X P ({BAC}) = P ({BCA}) = Y P ({CAB}) = P ({CBA}) = Z | Ω |= 3! = 6
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luego,...
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