problema de kepler

PROBLEMA DE KEPLER
Leyes de Newton de la din´mica y de la gravitaci´n
a
o
• Ley fundamental de la din´mica. Masa inercial
a


 dx

=v

dt
 dv
1


= F (t; x, v)
dt m
• Ley deNewton de la gravitaci´n universal. Masas gravitatorias.
o
Discusi´n sobre la noci´n de part´
o
o
ıcula puntual.

F12 = −G

M1 M2
n12 (figura)
2
r

1

• Sistemas de varias part´ıculas. Principio de superposici´n. Subsistemas
o

Fab = −GMa

Fa =
b(=a)

b(=a)

Mb
2 nab
rab

• Punto de vista de la teor´ de campos Campo creado por un cuerpo extenso.
ıa
Masagravitatoria activa y masa gravitatoria pasiva
N

g = −G
a=1

⇒

Ma
na ,
2
ra

rot g = 0 ,

g = −G
V

dM
n
2
r

g = −grad Φ
(figura)

div g = −4πGρ

2

• Ecuaci´n de movimiento deuna part´
o
ıcula de prueba en un campo externo.
Estrellas fijas. Ley de la Inercia y sistemas de referencia inerciales

dv
M
= − grad Φ
dt
m
Problema de Kepler newtoniano
• Qu´ es elproblema de Kepler?
e
• Conservaci´n de la energ´ y del momento angular (por unidad de masa)
o
ıa



˙
 E = 1 (r2 + r2θ2 + r2 sin2θϕ2) − GM
˙
˙
2
r

 J =x∧v ⇒ x·J =0

3

(figura)• Elecci´n del plano θ = π/2
o



 E = 1 (r2 + r2ϕ2) − GM
˙
˙
2
r

 J = r2ϕ
˙
˙
(⇒ A = J/2)

(figura)

• Potencial efectivo

J2
1 2
GM
˙
E = r + Φef (r) , Φef (r) ≡ 2 −(figura)
2
2r
r

1
J2

 Φef (r) = 0 ⇒ r =
≡ p

GM
2GM
2
⇒ Φef (p) = −
2

2p

 Φ (r) = 0 ⇒ r = J = p
ef
GM

4

• Ecuaciones de la trayectoria


J 2 2GM
 2
 r = 2E −
+˙
r2
r


ϕ= J
˙
r2
(puntos de retroceso)

⇒ dϕ =

J/r2

dr

2 E − Φef (r)

• Ecuaci´n de la orbita
o
´
2

2
1
+ u = 2 (E + GM u) , u ≡
J
r

2

 p≡ J


pGM
⇒ r=
♣
 2
e cos(ϕ − ϕ0) + 1
GM
 e ≡ 1 + 2pE ≥ 0 ,

E≥−

GM
2p
du
dϕ

2

5

• Otra manera de obtener la orbita
´
2
GM p
GM 2
{E, J} → {p, e} ⇒ r +
˙
−1 =
e
p...