Problemario de ecuaciones diferenciales

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1

F.I.M.E. EJERCICIOS 1.1 ORDEN GRADO

MECATRONICA LINEALIDAD

1. _

d3y  dy  = 3x   + 5 y dx 3  dx 
4 3

3

1

SI

2)

d2y  dy   dy  + 13   + x 2 =   2 dx  dx   dx 
3

2

1

NO

d3y d 3y  dy + 18  3  = 8 x +  3  3) dx  dx   dx  d3y  dy  4)  3  − 5 x = 8   dx   dx   d 2 y  5)  2  =  dx 

5

3

5

NO

3

2SI

2

1

SI

x−2
3 6 NO

d 2 y  d3y 6)  2  + 3 x = 5  3   dx   dx 

3

2
1 4

6

NO

d 2y dy   7)  2  + 7 x = 81 +  dx    dx  d3y 8)  3  =  dx  d 5y  9)  5   dx 
1

3

1

SI

dy dx  d 2 y 2  = 81 +  2     dx    
5 5

5

2

NO

3

2

2

3

NO

d 2 y   dy  10 )  2  = 5 −    dx   dx 

38 de julio de 2008

2

F.I.M.E.

MECATRONICA

EJERCICO 1.2 Determinar si la solución general es o no de la ecuación general dada. 1) y = c + cx
2 −1

y + xy ′ = x 4 ( y ′) 2

dy = 0 − cx − 2 dx c 2 − cx −1 + x(cx − 2 ) = x 4 (cx − 2 ) c 2 − cx −1 + cx −1 = x 4 (c 2 x − 4 ) c2 = c2
2) e
Cosx

Si es solucion
(1 − Cosy ) = 0  dy  Seny   + SenxCosy = Senx  dx 

dy = eCosx Seny + (1 − Cosy )e Cosx (− Senx ) dx dy = e Cosx Seny y ′ − (1 − Cosy )e Cosx (Senx ) dx (1 − Cosy )e Cosx (Senx ) y′ = − e Cosx Seny

( (

)

)

(

)

 (1 − Cosy )e (Senx )   + SenxCosy = Senx Seny −   e Cosx Seny   Senx = Senx Si es solucion
Cosx

(

)

3)

y = 8x5 + 3x2 + c

d2y  2  − 6 = 160 x 3  dx   

dy = 40 x 4 + 6 x dx d2y = 160 x 3 + 6 2 dx 160x 3 + 6 − 6 = 160 x 3 160 x 3 = 160 x 3 Si es solucion

4)

y = c1 Sen3 x + c 2 Cos 3 x

d2y  2  + 9y = 0  dx   

dy = 3c1Cos 3 x − 3c 2 Sen3 x dx d2y = −9c1Cos 3 x − 9c 2 Sen3 x dx 2 − 9c1Cos 3 x − 9c 2 Sen3x + 9(c1Cos3 x + c 2 Sen3 x) = 0 0 = 0 Si es solucion

8 de julio de 2008

3

F.I.M.E.

MECATRONICA

5)

y = ( x + c )e − x

 dy  x   + y = e− dx  

dy= −e − x ( x + c ) + e − x dx − e − x ( x + c ) + e − x + −e − x ( x + c ) = e − x e−x = e−x
6)

Si es solucion
 dy    − 5y = 0  dx 

y = ce 5 x

dy = 5ce 5 x dx 5ce 5 x − 5ce 5 x = 0 0 = 0 Si es solucion
7)

ln y = c1 Senx + c 2 Cosx

 d 2 y   dy  y 2  −   = y 2 ln y  dx    dx  

2

dy = y (c1Cos − c 2 Senx) dx d2y = y ( −c1 Senx − c 2 Cosx ) + (c1Cosx − c 2Senx) dy dx 2 2 y[ y (c1Cos − c 2 Senx ) − (c1Cosx − c 2 Senx) dy ] − [ y (c1Cos − c 2 Senx) ] = y 2 ln y y 2 (c1Cos − c 2 Senx) + y 2 (c1 Senx − c 2 Cosx ) − y 2 (c1Cos + c 2 Senx ) = y 2 ln y y 2 (c1 Senx − c 2 Cosx ) = y 2 (c1 Senx − c 2 Cosx ) Si es solucion

EJERCICIOS 1.3 1) y = 7x² + 8x + C y = 14 x + 8 2) y = C1x² + C2 y' = C1(2x) y"= 2C1 x( y”) = y'

2C1 = y' x

8 de julio de 2008 4

F.I.M.E. 3) y = C1 sen 8x + C2 cos8x y' = 8C1 cos 8x – 8C2 sen 8x y" = -64 C1 sen 8x – 64C2 cos 8x y"= -64y y" + 64y = 0

MECATRONICA

4) y = tan (3x + c) Tan ‫( ¹־‬y) = 3x + c y' _ 1 + y² = 3 y' = 3 (1 + y² )

5) y = C1(

e 3 x ) + C2( e −5x ) 3x −5 x y' = 3C1( e ) – 5C2( e ) 3x −5 x ) + 25C2( e ) y" = 9C1( e

5y = 5C1(

e 3 x ) + 5C2( e −5x ) 3x −5 x y' = 3C1( e ) – 5C2( e )3x -3 [ 5y + y' = 8C1( e )]
-15y - 3y' = - 24C1(

5y' = 15C1(

e 3 x ) – 25C2( e −5x ) 3x −5 x ) + 25C2( e ) y" = 9C1( e 3x ) 5y' +y" = 24C1( e

e 3x ) 3x 5y' +y" = 24C1( e )

-15y - 3y' + 5y' +y" = 0

y" + 2y' – 15y = 0

6) y = x tan (x + c) Tan ‫( ¹־‬y/x) = x + c xy' – y x² __ 1 + y²_ x² xy' – y x² = 1 xy'- y = x² + y² y² = 1 + x²

xy' = x² + y² + y

7) y = C1 senh(x) + C2cosh(x) y' = C1 cosh(x) + C2 senh(x) y" = C1 senh(x) + C2 cosh(x) y"= y

8 de julio de 2008

5

F.I.M.E. 8) x²_ y²_ C1² = 1 - C2² 2C1²x_ C1
4

MECATRONICA

- 2 C2²yy' = C2
4

xC2² = -yy'(C1²) C2² = -C1²yy" - C1²(y')² C2² = C1²( -yy'' - (y')² ) -yy' x = -yy'' - (y')²

xC2²_ C1² = -yy'

x [yy'' + (y')²] = yy'

9) y = x sen(x + c) y_ x = sen (x + c) sen‫( ¹ ־‬y/x) = x + c (xy' - y)²...
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