Problemas con derivadas

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1. Los puntos AB son opuestos entre sí en las márgenes de un rio de forma recta y con 3 km de ancho. El punto C está en la misma margen de B, pero a 2 Km. del rio bajo respecto de dicho punto. Una compañía de teléfonos desea tener un cable desde A hasta C. Si el costo por Km de cable es 25% mayor por debajo del agua que por tierra, ¿Qué línea de cable será la menos costosa para la compañía?
AB

P 2 km.
C

Datos
K= $ por tierra
5/4 k= $ por agua
c (x) $=a p c
c (x)=5/4 k √(〖3x〗^2+x^2 )+k (2-x)
c (x)=5/4 k (3^2+x^2 )^(1/2)+2k-kx
c´ (x)=5/4 k . 1/2 (3^2+x^2 )^(-1/2) 2x+0-k
c´ (x)=(10 kx)/(8√(3^2+x^2 ))-k=0
10 kx=[8√(9+x^2 )]
〖10〗^2 〖 k〗^2 x^2=64 (9+x^2 )100x^2=576+〖64x〗^2
100x^2-〖64x〗^2-576=0
〖36x〗^2=576
x^2=576/36
x=4
c=(5/4 k . 3)+(k . 2)
c=15/4 k+2 k
c=23/4 k=5.75 k
√(3^2+x^2 ) . 5/4 k
√13 . 5/4 k=4.506 k
2. Hallar las dimensiones del rectángulo del área máxima que puede escribirse en un circulo de 5 cm de radio.
C D = X
D E = √(100-x^2 )
X A
0 0
1 9.9
2 19.6
3 28.6
4 36.6
5 43
6 48
7 49.7
8 48
9 39.6
10 0C

3. Se bombea aire en un globo esférico de tal modo que su volumen aumenta con rapidez de 100 〖cm〗^3/s, ¿Con que rapidez aumenta el radio del globo cuando el diámetro es de 50 cm?
Datos
Rapidez de aumento es de 100 〖cm〗^3/s
Desconocido: ¿Cuál es la rapidez cuando su radio es de 50 cm ?
dv/dt=100〖 cm〗^3/s
Incógnita
dr/t
Donde r = 25
Relación
Fórmula de volumen de unaesfera
v=4/3 π〖 r〗^2
Regla de la cadena
dv/dt=dv/dr=dr/dt=4 π r^2 dr/dt
Despejamos lo desconocido
dv/dt=1/(4 π r^2 ) dv/dt
v^' (t)=3 (4/3)π〖 r〗^2
v^' (t)=4 π r^2
Sustituir
r=25 y dv/dt=100
dr/dt=1/(4 π (〖25)〗^2 )
El radio aumenta con una rapidez de 1/((25 π)cm/s)
4. El girasol tiene 100 m. de tela de alambre con la cual se planea construir 2 corrales adyacentes idénticos¿Cuáles son las dimensiones del cercado total para el que es máxima área?
Problema
dA/dx=50-3x
Cuando igualamos a 0 la expresión 50-3x
50/3=x
Por lo tanto hay 3 puntos críticos 0, 50/3 , 100/3
y=50-3/2 (50/3)=25 mts.
5. El gas de un globo esférico se escapa a razón de 1,000 〖cm〗^3/min. En el mismo instante en que el radio es de 25 cm.
a) ¿Con qué rapidez disminuye el radio?
b) ¿Con querapidez disminuye el aire?
Planteamiento
Como el aire se escapa a razón de 1,000 〖cm〗^3/min. quiere decir que la razón de cambio del volumen del globo respecto al tiempo es de 1000 y requerimos de la formula v=3/4 π r^2
Derivamos
dv/dt=3(4/3) (π r^2 )(dr/dt)
Donde:
dv: Es la razón de cambio del volumen respecto al tiempo.
dr: Es la razón de cambio del radio respecto al tiempo.
Solucióndv/dt=4 π r^2 dr/dt y dv/dt=1,000 y r=25
Resultado
1,000=4 π 〖(25)〗^2 dr/t
Ósea que
dv/dt=0.1273 cm/min es la rapidez con que disminuye el radio.
Para hallar la rapidez con que disminuye el area de la superficie del globo requerimos de la formula.
A=4 π r^2
dA/dt=8 π r dv/dr
Sustituimos
dA/dt=8 π (0.1273)
dA/dt=80cm/min. Que es el radio con que disminuye el area de lasuperficie del globo.
6. Un hombre navega en una barca a 2 millas del punto más cercano a la costa,l desea llegar a su casa la cual está a 6 millas de dicho punto. El hombre puede remar a razón de 3 m/s y confirmara la razón de 5 m/s que se debe de hacer para llegar a su casa en el menor tiempo posible.
d=√(〖(x)〗^2 )+(√4)^2
d=√(x^2 )+〖(2)〗^2
A D=√(x^2 )+4/3
D C=(6-x)(5)
√(x^2 )+4/3(6-x)/5
Valor mínimo equivale a = T = 1/3 (x^2+6/5-1/5)
x=0→ La persona rema hasta B y camina de B a su casa.
x=6→ El hombre rema de 5 m/s de A hasta su casa.
x=0+18
x=√3/3+ 6/5-0=28/15=1.87
x=1 hora con 52 min.
x=6
T=√40/3+6/5-6/5=2√10/3=2.11
x=2 horas con 7 min.
7. La suma de 2 números no negativos es de 36 hallar dichos números para:
a) La suma de sus cuadrados sea la más...
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