Problemas de apolonio

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Junio 2004, pp. 59-70

Los diez problemas de Apolonio

Este artículo es fruto de una colaboración entre dos áreas curriculares, Plástica y Matemáticas, que comparten un amplio campo de contenidos curriculares, y en él se resuelven los diez problemas de tangencias de Apolonio. En primer lugar, se hace un tratamiento sintético y se obtienen las soluciones con regla y compás utilizandoCabri. A cada construcción le sigue su planteamiento analítico y se resuelven algunos ejemplos en el estilo de las coordenadas usando Maple. También se hace una breve reflexión sobre las aportaciones de ambos procedimientos en cada caso y, finalmente, se concluye el artículo con unas reflexiones generales. This article is the result of a collaboration between fields that may seem unrelated: PlasticArts and Mathematics. They share a wide field of syllabus, and in this work we solve the ten problems of Apollonius from the two perspectives. First, the synthetic treatment is done by using the software Cabri and the solutions are obtained on the rule-and-compass manner; then the corresponding analytic approach is considered, and we solve some of the examples using coordinates using Maple. Also abrief analysis in both procedures is done case by case. Finally, we end the article with general reflections.

polonio de Perga (262-190 a.C.), que es ampliamente conocido por su tratado sobre las cónicas, no lo es tanto por su tratado sobre Tangencias. En éste, Apolonio describe el problema que hoy se conoce como Problema de Apolonio y que tiene este enunciado: Dados tres objetos tales que cadauno de ellos puede ser un punto, una recta o una circunferencia, dibujar una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres elementos dados. Este problema da lugar a diez casos posibles y en alguno de ellos aparecen situaciones que obligan a un tratamiento particular. Según Boyer (1986), los casos más sencillos (tres puntos y tres rectas) ya aparecen tratados en los Elementos de Euclides.Apolonio trató estos dos casos junto a estos otros seis (dos puntos y una recta; dos rectas y un punto; dos puntos y una circunferencia; dos circunferencias y un punto, dos circunferencias y una recta; un punto, una recta y una circunferencia) en el Libro I de las Tangencias, y los dos casos restantes (dos rectas y una circunferencia, y tres circunferencias) en el Libro II de las Tangencias.Aunque desgraciadamente estos libros se han perdido, a través de Pappus de Alejandría (s. IV d.C.) se sabe que Apolonio resolvió los nueve primeros, y hoy en día se cree que fue Isaac Newton el primer matemático que resolvió por medio de la regla y el compás el problema de encontrar la circunferencia tangente a otras tres circunferencias.

A

Consultada la base de datos del ZDM, Matdhi, sóloaparecen cuatro trabajos relacionados con Apolonio y, de ellos, sólo el artículo de E. R. Lozano (1997), tiene que ver con el problema de tangencias, pero en él se trata la relación del problema de Apolonio con el de Soddy y, por tanto, sigue una orientación distinta de la que se hace aquí.

Se sabe que Apolonio resolvió los nueve primeros, y hoy en día se cree que fue Newton el primer matemático queresolvió el último.

Inés Ortega
Didáctica de la Expresión Musical, Plástica y Corporal.

Tomás Ortega
Analisis Matemático y Didáctica de la Matemática, Universidad de Valladolid.

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SUMA 46 Junio 2004

El propósito de este artículo es mostrar como se pueden conjugar la visión de la geometría sintética, propia del Área de Dibujo, con la geometría analítica, propia de la Matemática,y desde la óptica de la Didáctica combinar los estilos de resolución de forma complementaria. Así se crea un marco interdisciplinar de analisis didáctico que puede permitir elegir las opciones de resolución y de razonamiento más apropiadas en cada caso. A continuación se describen los problemas y las soluciones correspondientes, junto con sus procedimientos constructivos y resolutores, y las...
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