Problemas De Cinematica De Cuerpo Rigido

Problemas de Cinem´tica del Cuerpo R´
a
ıgido.
Jos´ Mar´ Rico Mart´
e
ıa
ınez
Departamento de Ingenier´ Mec´nica
ıa
a
Facultad de Ingenier´ Mec´nica, El´ctrica y Electr´nica
ıa
a
e
o
Universidad de Guanajuato.
Salamanca, Gto. 36730, M´xico
e
October 20, 2009

1

Problemas Propuestos.

Problema 1. El bloque rectangular que se muestra gira alrededor de la diagonal OA convelocidad
angular constante de 6.76 rad. . Si la rotaci´n es en sentido contrario al de las manecillas del reloj
o
s.
cuando se observa desde A, determine velocidad y aceleraci´n del punto B en el instante indicado.1
o

Figure 1: Gr´fica de un bloque rectangular sujeto a rotaci´n .
a
o
Soluci´n. Primeramente encontraremos un vector unitario en la direcci´n del vector rOA . Se
o
o
tieneque
ˆ
i
j
rA/O = 5 in. ˆ + 31.2 in. ˆ + 12 in. k.
1 Este es el Problema 15.9 del libro Mec´nica Vectorial Para Ingenieros, Din´mica. Beer, F.P., Johnston, E.R.
a
a
y Clausen, W.E., Octava edici´n, McGraw Hill: M´xico D.F.
o
e

1

Por lo tanto,
uOA =
ˆ

ˆ
rA/O
5in. ˆ + 31.2 in.ˆ + 12 in.k
i
j
25 ˆ 12 ˆ
60 ˆ
√
=
k
=
i+
j+
2 + 31.22 + 122
| rA/O |
169
13
169
5

Deestos resultados puede calcularse el vector velocidad angular del bloque rectangular ω como
ˆ rad.
ω =| ω | uOA = 1 ˆ + 6.24 ˆ + 2.4 k
ˆ
i
j
s.
Debe notarse que esta definici´n del vector velocidad angular cumple con las caracter´
o
ısticas indicadas en la teor´ de la cinem´tica de cuerpos r´
ıa
a
ıgidos.
Adem´s como la magnitud de la velocidad angular es constante y el cuerpo est´sujeto a
a
a
rotaci´n alrededor de un eje fijo, el vector uOA es constante y ω tambi´n es constante. De aqu´
o
ˆ
e
ı
que
dω
= 0.
α=
dt
Finalmente, determinaremos rOB , pues B es el punto cuya velocidad y aceleraci´n se desea
o
conocer y O es un punto a lo largo del eje de rotaci´n.
o
ˆ
i
j
rB/O = 5 in. ˆ + 15.6 in. ˆ + 0 in. k.
Por lo tanto
ˆ
ˆ
ˆ in.
i
j
i
j
i
j
vB = ω×rB/O = 1 ˆ + 6.24 ˆ + 2.4 k × 5 in. ˆ + 15.6 in. ˆ + 0 in. k = −37.44 ˆ + 12.0 ˆ − 15.6 k
s.
De manera semejante,
rad.
aB = α × rB/O + ω × ω × rB/O = ω × ω × rB/O = −126.144 ˆ − 74.256 ˆ + 245.6256 ˆ
i
j
k
s2 .
Problema 2. En el problema 1, determine la velocidad y aceleraci´n del punto B en el instante
o
mostrado, suponiendo que la velocidad angular es de 3.38 rad. y que disminuye araz´n de 5.07 rad.
o
s.
s2 .
2

Soluci´n: Del problema 1, se sabe que
o
uOA =
ˆ

ˆ
5in. ˆ + 31.2 in.ˆ + 12 in.k
i
j
25 ˆ 12 ˆ
60 ˆ
√
k
=
i+
j+
169
13
169
52 + 31.22 + 122

De estos resultados puede calcularse el vector velocidad angular del bloque rectangular ω como
ˆ rad.
ω =| ω | uOA = 0.5 ˆ + 3.12 ˆ + 1.2 k
ˆ
i
j
s.
o
a
Puesto que la velocidad angular est´disminuyendo a raz´n de 5.07 rad. la aceleraci´n angular est´
a
o
s2 .
dado por
α =| α | uOA = −5.07
ˆ

25 ˆ 12 ˆ
60 ˆ
k
i+
j+
169
13
169

= −0.75 ˆ − 4.68 ˆ − 1.80 ˆ
i
j
k

rad.
s2 .

De esta manera, la velocidad del punto B , est´ dada por
a
ˆ
ˆ
ˆ in.
vB = ω ×rB/O = 0.5 ˆ + 3.12 ˆ + 1.2 k × 5 in. ˆ + 15.6 in. ˆ + 0 in. k = −18.72 ˆ + 6.0 ˆ − 7.8 k
i
j
i
j
i
j
s.2 Este

es el Problema 15.10 del libro Mec´nica Vectorial Para Ingenieros, Din´mica. Beer, F.P., Johnston, E.R.
a
a
y Clausen, W.E., Octava edici´n, McGraw Hill: M´xico D.F.
o
e

2

De manera semejante,
aB

= α × rB/O + ω × ω × rB/O
=

−0.75 ˆ − 4.68 ˆ − 1.80 ˆ × 5 in. ˆ + 15.6 in. ˆ + 0 in. ˆ
i
j
k
i
j
k
ˆ
+ 0.5 ˆ + 3.12 ˆ + 1.2 k ×
i
j

=

ˆ
ˆ
0.5 ˆ + 3.12 ˆ +1.2 k × 5 in. ˆ + 15.6 in. ˆ + 0 in. k
i
j
i
j

j
k
−3.456 ˆ − 27.564 ˆ + 73.1064 ˆ
i

in.
s2 .

Problema 3. La varilla acodada ABCD gira con velocidad angular constante de 75 rad
s
alrededor de una l´
ınea que une los puntos A y D. Si en el instante considerado la velocidad de la
esquina C va hacia arriba, determine velocidad y aceleraci´n para la esquina B .3
o

Figure 2:...